Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
пространственных операциях симметрии YikJ преобразуются согласно представлению Га хГр. Вместо Yikj- удобно рассмотреть матричные элементы Zik линейно связанные с Yikj-:
Zikj = (0of V^,02VSa)) = єеє0(ЄуЮ О®vja)) = S0SoZfo-
где Єе = ±1 при 0 =+1, Єо = ±1в зависимости от типа оператора О относительно обращения времени. Таким образом,
ZikJ = 2 (^ikJ +?0eC>Zkij)>
гу
т.е., матричные элементы Zikj- фактически образуют базис представления [Га ]хГр или
{Га }хГр при ЄеЄо = +1 или -1, соответственно. Поэтому правила отбора в этих случаях
2 2
требуют, чтобы Гр є [Га ] или Гр є {Га } вместо более широкого требования п.3.4. Гр є Га . Отметим, что здесь Га — не обязательно неприводимое представление; это может быть, например, неприводимое копредставление второго и третьего типов.
5.6. Формализм спиновых гамильтонианов
Спиновые гамильтонианы используются для описания спектров систем с ограниченным числом г = 25* + 1 (S — "эффективный спин") состояний. С подобного рода системами приходится иметь дело, например, в магнитном резонансе; парамагнитные ионы в кристаллических полях часто обладают невырожденным основным орбитальным уровнем, удаленным от возбужденных уровней интервалом порядка сотен см-1. Магнитные свойства системы определяются группой спиновых
89 состояний иона, их расщеплением в кристаллическом и магнитном полях. В этом случае эффективный спин системы совпадает с истинным спином иона, что, собственно, и оправдывает название спиновый гамильтониан.
Формально любой эрмитов оператор в r-мерном пространстве может быть представлен в виде конечной суммы "спиновых операторов" Sa и их степеней (симметризованных) до г — 1 включительно:
H = а0+ aaSa + OapSaSp +... (5.17)
Диагонализованный оператор определяется г собственными значениями или числами az в выражениях
^=^0 + ^+^?2+... + ^-?"1. Однако определенные конструктивные заключения о форме гамильтониана можно сделать лишь в случае, когда известны свойства преобразований "спиновых" состояний при преобразованиях в физическом пространстве и обращении времени. Гамильтониан системы упрощается при наличии той или иной симметрии, ибо он должен быть инвариантен относительно соответствующих поворотов, а также обращения времени с изменением знака внешнего магнитного поля. Если S — истинный спин, множество состояний его преобразуется по представлению D^, и нечетные степени его компонент могут входить в гамильтониан лишь в комбинации с магнитным полем. Ограничиваясь линейными по магнитному полю членами и не учитывая общий сдвиг уровней спинового мультиплета, представим гамильтониан для спина S = 1 (и 3/2) в виде
Н = ga?^a^? + Ai?^a^? > где тензор ga? и симметричный бесследный тензор Z)a? должны быть инвариантами точечной группы симметрии позиции парамагнитного центра. В случае S = 2, 5/2 добавляются слагаемые четвертого порядка по Sa, а при S= 3, 7/2 — шестого. В нулевом магнитном поле спиновый гамильтониан является эквивалентным спиновым оператором для потенциала кристаллического поля. Матричные элементы кристаллического поля не обращаются точно в нуль, поскольку действующее как возмущение спин-орбитальное взаимодействие слегка примешивает к спиновым состояниям орбитальные состояния с той же симметрией.
Рассмотрим еще спиновые гамильтонианы для крамерсовых дублетов; в этом случае эффективный спин S = 1/2, 0 = —1, и можно произвольно выбрать пару взаимно-
90 ортогональных состояний \\f и 0\|/ в качестве собственных векторов оператора Sz. Операторы Sx, Sy, Sz меняют знак при обращении времени, и гамильтониан имеет вид:
H = g OHIhOlsH-¦
Произвол в выборе "ориентаций" в спиновом пространстве можно использовать для диагонализации "тензора" даже в отсутствие пространственной симметрии. "Спиновый" базис \\1, 0\|/ можно менять с помощью унитарных преобразований из SU(2), однако сопоставлять их можно только с теми вращениями в физическом пространстве (группа R3), которые принадлежат группе симметрии G a R3 парамагнитного иона в отсутствие магнитного поля и относительно которых поэтому пространство {\|/, 0\|/} инвариантно. Повороты из R3, не принадлежащие группе симметрии G, переводят состояния \|і, 0\|/ в возбужденные состояния.
При наличии симметрии G гамильтониан должен быть инвариантен относительно соответствующих поворотов магнитного поля H и одновременных поворотов в двумерном пространстве. Последним отвечают трехмерные повороты "вектора" S и появляется возможность согласования "координат" в спиновом пространстве с системой координат физического пространства. Если Z — главная ось группы G порядка п, выберем функции \\і, 0\|/ так, что
D(Cn)\\f = e~ia\\f, D(Cn)By = eiaB\\f (а — половина угла поворота), тем самым
фиксируя ось Z спинового пространства; ст3/2 = Sz. При таком выборе gz\ = gz2 = gxz = gyz = 0. Если других преобразований симметрии нет, то остается произвол в выборе одной из осей 1,2 (je, у) в спиновом пространстве. При наличии оси второго порядка, перпендикулярной к главной, выберем ее за ось Y, так что
Ь(С{ )у = -Ь(СУ2 )00\(/ = Ь(С{ )0\|/ = -Ky,
