Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
6. В трехмерном евклидовом пространстве задана некоторая декартова система
гу
координат. Как преобразуются функции x,x,f 'X(x,y,z), sinx при повороте около оси z на угол а?
1. Разбить функцию х на части, преобразующиеся по НП группы октаэдра (оси координат направлены вдоль осей четвертого порядка).
8. Означает ли равенство (4.17), что в представлении, порождаемом функцией /(х), каждое НП содержится не более, чем по одному разу?
9. Построить матрицы трех НП группы октаэдра на функциях 3z2-r^ и л/3 (Xі-у2); х,у и z; yz, zx и ху.
83 10. Определить группу симметрии нерелятивистского гамильтониана для иона с зарядомZnn электронами:
7^2 J-
+х--
2т і ri i> j rij
11. Показать, что матрицы S, осуществляющие разложение представления
D^ XD^ = (У^Р^)Б, определяются этим соотношением с точностью до
Vt
умножения на элементы коммутаторной алгебры алгебры [XD^].
12. Проверить ортогональность функций, преобразующихся по различным НП или как различные строчки одного НП.
13. Вычислить |ф/а\х)й?с, если Га— нетождественное представление.
14. Показать, что Гає ГрхГг тогда и только тогда, когда Г, є Га* хГрхГу.
15. Найти правила отбора для электрических и магнитных дипольных переходов между уровнями системы, обладающей симметрией Oh-
16. На систему, обладающую симметрией группы Oh, наложено возмущение, которое понижает симметрию до группы а) U3d, б) D2h- Как расщепляются вырожденные уровни энергии системы под действием возмущения? Найти канонические базисы и написать матрицу возмущения для системы, обладающей тремя уровнями: ^(F4u1), Е(Г4и2), E(T5g).
17. Составить МО JIKAO молекулы XY4, преобразующиеся по НП группы Та, из s-, p-, (/-орбиталей атома X и s-, р-орбиталей лигандов.
18. Как расщепляются уровни атома с данными значениями полного момента j = 1/2, 1,...,7/2, 4 в поле с кубической симметрией О?
19. Определить волновые функции расщепленных уровней в предыдущей задаче.
20. Показать, что функция \\fm® является собственной функцией оператора j2 = jx2+jy2+jZ2- Вычислить соответствующее собственное значение.
21. Найти потенциал кристаллического поля с тетрагональной симметрией.
22. Найти эквивалентные операторы для полиномов
P20 = 3z2 - г2, P2 =х2-у2, P40 = 35z4 — 30r2z2 +зИ, P2=(lz2-r2)(x2-y2), P43 = xz(x2 -Зу2), Р?=х4-6х2у2+у4.
84 5. Обращение времени
5.1. Антиунитарность оператора обращения времени Обращение времени 0 (обращение направления движения) заключается в изменении всех скоростей (в том числе и скоростей "собственных вращений", спинов) системы на противоположные. Связь обращения времени и смещения во времени Dt:
( і \
Dt = ехр--Ht , ^0 = cQD_t,\с\ = 1. (5.1)
\ h )
Если 0 является элементом симметрии системы (не меняет гамильтониана), то, как обычно,
HVn=EnVn HQvn =EnQvn, (5-2)
и
|(ex,ey)| = |(x,j;)| (5.3)
(сохраняется вероятность перехода между преобразованными состояниями). Равенство (5.3) имеет место для нормированных векторов, но распространяется по определению и на все другие векторы. Из него вытекает, что если {е,} — ортонормированный базис гильбертова пространства, то {0ег} — такой же базис. Если х = E1'е,-, то 0х = Е,"6е„ причем E1" = E1'I. Поскольку каждому состоянию отвечает целый набор векторов с произвольными фазами, можно воспользоваться этим произволом так, чтобы оператор 0 стал линейным или антилинейным. Пусть
Qfi = 6(е, + ef) = C1Qe1 + CiQei, |cj I = |с,-| = 1.
Снабдим Qei фазой 1, Qei — фазой сг / с\, Qfi — фазой сГ1, тогда для переопределенных состояний Qfi = Qei+ Qet. Умножая далее 6jc = E1' lQet на E1VE1' 1 (по модулю равное 1) и дополняя Bjc этой фазой, получим
Qx = ^1Qei + Elll2Qe2 + ^"3Qe3 +..., І = 1?' І = 1? І. Согласно (5.3), |(0)| = І(Єх,0^|, т.е., 1?1 + = 1?1 + или + ^i*= ^i+ Умножая на 1 и учитывая, что !|2 = \%\2, получим для 1 квадратное уравнение:
откуда = либо (5.4)
85 В первом случае оператор 0 оказывается линейным и унитарным, а во втором (после вторичного дополнения Bjc фазой ?,1 */Е11 ) — антилинейным и антиунитарным:
Gjc = Qeit 6(ojt+?y) = а*Є.х+р*Єу, (QxtQy) = Ti ^n'* = (jc,^)* = (y,jc). (5.5)
Применяя соотношение (5.1) к произвольному состоянию, разложенному по стационарным состояниям, xF = Tanср„, и предполагая линейность оператора 0, мы придем к противоречию (неравенству), поэтому для оператора обращения времени может выполняться лишь вторая из возможностей (5.4), т.е., 0 — антиунитарный оператор.
Оператор комплексного сопряжения меняет компоненты вектора (в любом
гу
базисе) на комплексно-сопряженные: Кці = \\f*, К = 1. Нормальная форма антиунитарного оператора: 0 = UK, где U — унитарный оператор.
02= UKUK = UU* = сЕ U = cU с = +1, 02 = +1. (5.6)
5.2. Различные представления оператора обращения времени
Существует два класса физических величин по отношению к обращению времени: для первого класса (например, координаты) вероятность определенного значения величины одинакова в состояниях и 0\|/, а для второго (скорости) — одинакова вероятность противоположных значений. Операторы соответственно удовлетворяют следующим перестановочным соотношениям
