Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
3 4 5
2 1
и T'
5 3
1 4
2
такая: s:
'12345' 24153/
110 Имеет место следующая комбинаторная лемма:
Пусть T и T' — любые две таблицы Юнга, причем схема [А,] не ниже [А]. Тогда 1) либо имеются два номера (пешки), стоящие в одной и той же строчке в T и в одном и том же столбце в T'; 2) либо [А] = [А], и перестановка s: T —» T' имеет вид qp.
Доказательство осуществляется последовательным рассмотрением номеров, стоящих в строчках таблицы T и возможным распределением их по столбцам таблицы TЕсли имеет место первая альтернатива леммы, то
sus~l = v' или SU = v's, (7.5)
где и — транспозиция двух пешек (перестановка типа р), о которых идет речь в формулировке леммы, в таблице Т; v' (типа q') — транспозиция их в таблице T'. В вышеприведенном примере пешки 3,4 первой строчки T (транспозиция и = (12)) оказываются во втором столбце T' (транспозиция v' = (24)). Уравнение (7.5) верно для любых s, если [А] выше [А], а при одинаковых схемах — для тех s, которые нельзя записать в виде qp.
В сумму (7.3), определяющую симметризатор, каждый элемент группы входит не более одного раза, иными словами, равенство q\p\ = q2p2 возможно лишь при q\ = q2 и pi = р2. Поэтому с является элементом алгебры с коэффициентами c(s) = 8д, если s=qp, c(s) = 0, если S нельзя представить в виде qp. Очевидно,
Фр) = Ф), c(qs) = 8qc(s). (7.6)
Можно показать, что любая величина d, коэффициенты которой удовлетворяют тем же условиям, кратна симметризатору:
d = Xc, A = d(e). (7.7)
(При доказательстве отдельно рассматриваются коэффициенты d(qp) и d(s) при s Ф qp.) Точно так же, если [А] выше [А], то величина d, удовлетворяющая соотношениям
d(sp) = d(s), d(q's) = 8q-d(s), (7.8)
равна нулю, ибо, согласно (7.5), d(s) = d(su) = d(v's) = -d(s) = 0. Эти замечания позволяют утверждать, что величина схс (х — любой элемент алгебры), обладающая свойствами (7.6), кратна с, в частности, сс= \х с. Кроме того, в силу (7.8), с'хс = 0, если [А] выше [A rJ, в частности, с'с = 0.
Рассмотрим инвариантное подпространство (размерности пщ) величин вида хс. Вычисляя след преобразования х' = хс в базисе, первые пщ векторов которого
111 являются базисом ppj (а остальные к ним ортогональны), и в естественном базисе, получаем соотношение
р=пУпщ, (7.9)
где п\ — порядок группы Pn. Теперь сравнительно просто проверить, что идемпотент е = с/р не допускает дальнейшего нетривиального разложения е = е\ + (задача 3).
Эквивалентность представлений, порождаемых в рт и рт>, означает, что при подходящем выборе базисов в них матрицы, отвечающие любому элементу алгебры, окажутся одинаковыми. Но если, скажем, [А,] выше [А,], то схс' = 0 при любом х, т.е., величине С отвечает нулевая матрица в рт-, тогда как в рт ей не может отвечать нулевая матрица, поскольку ее рт и сс Ф 0. Это и доказывает свойство в) симметризаторов Юнга.
7.2. Разложение регулярного представления
Если вместо естественной нумерации клеток схемы Юнга — 12...и —
пользоваться другой нумерацией: Г\Г2...Г„, то переход от позиции T к T' вместо s будет
ґ\ ... «Л
описываться перестановкой rsr \ где г =
VrI - rTiJ
. Соответственно, как уже
отмечалось в предыдущем параграфе, симметризатор с заменится на cr = гсг 1 с коэффициентами cr(s) = c(r~lsr). Симметризаторы с и сг порождают эквивалентные инвариантные подпространства рг={хс} и = {хсг}, в которых осуществляются
одинаковые НП (хс •<-> хсг~1 = (хг~})сг). Рассмотрим величины
eM=-TErcr"1. емО)=-тЕс(г"^г)- (7Л°)
Vr Vr
Они принадлежат центру групповой алгебры и, кроме того, определяются только схемой Юнга [А,], а не конкретной нумерацией клеток этой схемы. Эти величины являются идемпотентами (задача 4), взаимно-нормальными для разных схем Юнга. Последнее сразу вытекает из свойства в) симметризаторов. Число независимых величин є равно числу классов сопряженных элементов, поэтому они образуют базис центра. Отсюда
е = е + е' + ... (7.11)
112 (е = Ає + А'є' +...; умножая обе части на є, имеем є = Ає2 = Ає, т.е., А = 1). Разложение регулярного представления на неприводимые составляющие выглядит следующим образом:
'+••• = + Z^r'+- (7-12)
X — XE + XE
Ц" Г Ц' г
Отметим, что не все идемпотенты сг для данной схемы [А] независимы. (Можно ограничиться перестановками, отвечающими стандартным таблицам Юнга; см. раздел 7.4.) Сравнивая с (2.18), заключаем, что идемпотенты Spj осуществляют проектирование подобно операторам Р^а\ поэтому
7.3. Формулы Фробениуса для характеров групп перестановок
Подгруппы группы Pn, соответствующие разбиениям числа п (схемам Юнга [А]):
^[Х] = pXl х pX2 х •••х pXn • Согласно (2.15) (полагая там v индексом тождественного НП подгруппы), можно записать составные характеры Pn, = gA^ /h^g^, где число элементов g(v) в классе (v) определяется формулой
__п!_
g(v)" ivi Vi!2v2 V2J ^vn
а число элементов группы Ppj, обладающих циклической структурой (v), равно
^= Z П-—-• Отсюда:
(v) z-, 1^iviiv f?v2 iv i
Zvfe-=Vt /=1 1 VlfLi V2,-!...
vIi +^v2,- +...=X,,-
