Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
малое представление группы волнового вектора Gk и индуцированное им проективное
представление группы Fk совместно являются или приводимыми, или неприводимыми.
Таким образом, поиск неприводимых представлений пространственных групп
сводится к поиску неприводимых проективных представлений 32 точечных групп Fk.
Отметим, что множители фактор-системы в (6.11) сводятся к единице и,
соответственно, проективное представление сводится к обычному представлению, если
(а) все неэлементарные трансляции Ctirk) равны нулю; (б) имеет место точное равенство
rk = к для всех г є Fk. Последнее, в частности, справедливо для всех звезд, лучи
которых являются внутренними точками зоны Бриллюэна.
Подытожим последовательность нахождения НП со звездой {к}
пространственной группы G:
1) Устанавливается точечная группа симметрии Fk a F произвольного луча к звезды.
2) Определяется фактор-система co(ri,r2) проективного представления группы Fk,
®(ri,r2) = ехрі(к - П~1к)-аг2. (6.12)
3) Строятся (или берутся из таблиц) матрицы неприводимых проективных
представлений группы Fk с данной фактор-системой, D(^\r).
4) Строится малое представление группы Gk по формуле
Dk\gk = (a + a,|r)) = exp [~ik{a + a,)]Z>(?)(r) (6.13)
5) По этому малому представлению восстанавливается полное представление группы G по формуле (6.10).
102 6.7. Некоторые неприводимые представления группы Oh
п
Рассмотрим в качестве примеров НП группы Oh . Для центра зоны Бриллюэна
(точка Г) к = О (однолучевая звезда {0}), точечная группа луча — Оь, фактор-система, как для любой внутренней точки зоны Бриллюэна, тривиальна: cc>(ri,r2) = 1. Матрицы
Всего имеется десять однозначных и шесть двузначных НП такого вида (по числу НП группы Oh).
Точка А на оси четвертого порядка, к = &о(100), порождает шестилучевую звезду, точечная группа луча — C4v; пять однозначных (из них четыре одномерных и одно двумерное) и два двузначных (двумерных) представления этой группы выступают в качестве "проективных" представлений группы Fk, а после умножения их матриц на число е"*^ получаем малые НП группы волнового вектора G*. Напомним, что аг =O для элементов е,С4 и отражений в плоскостях, проходящих через ось X и составляющих угол 45° с осями y,z — эти элементы входят в Td. Для остальных четырех элементов группы C4v а г = (а/4)(111). Наконец, по формулам (6.9) восстанавливаем НП
п
группы Oh . При этом одномерные малые НП порождают шестимерные НП пространственной группы, а двумерные малые НП — 12-мерные.
Рассмотрим еще точку X на границе зоны Бриллюэна; для нее к = (2л/а)(100), она порождает трехлучевую звезду, точечная группа луча D4h, ar = О для элементов подгруппы D2d, и элементы фактор-системы (й(Г\,Г2) = е~ы'аг = -1, если Г\ относится к смежному классу /C4v (для него г\к = —к) и г2 є /D2d (ari ^ 0); для остальных пар г\,г2 w(rbr2)=l.
Будем искать унитарные матрицы D(r) для образующих элементов группы D4h —
S4, U2, I, удовлетворяющие условиям: (1) D(S4)D(U2)D(S4)D(U2) = Е, (2) D4(S4) = Е, (3) D2(U2) = Е, (4) D2(I) = -Е, (5) D(S4)D(I) = - /)(7)/)(?), (6) D(U2)D(I) = -D(I)D(U2). Как
видно, некоторые матрицы антикоммутируют, поэтому они не могут быть одномерными, и мы сначала рассмотрим двумерные матрицы. Используем базис, в
котором D(S4) диагональна: D(S4) =
VO
а = 1 ,і, (-1,-/ можно исключить перенумерацией базисных векторов), из (4) ? = -а-1, и
103 выбором относительной фазы базисных векторов можно преобразовать D(I) к виду
О 1
(С d \ 2 2
. Условие (6) приводит к D(U2) = ,из (3): с + d = 1; из (1): при а = 1
Vd - с)
-і о,
d = 0, с = ±1; при а = +і с = 0, d = ±1. Таким образом, получаются четыре различных проективных представления, исчерпывающих все неприводимые проективные представления с данной фактор-системой (ср. п. 6.9). Они порождают четыре
п
однозначных шестимерных НП группы Oh со звездой {X}. Для спинорных представлений в правых частях условий (1) — (3) E заменяется на —Е, двумерных матриц, удовлетворяющих этим условиям, нет; существует одно четырехмерное неприводимое проективное представление нужного типа.
6.8. Аппроксимация группы трансляций конечной группой
Часто бывает удобно заменить бесконечную группу трансляций T конечной
¦у
группой высокого порядка N (N — очень большое целое число), используя "периодические граничные условия": t(Nai) = е. Такая группа имеет конечное число (TV3)Hn:
Dk(a) = elLa, к = кф} + к2Ь2 + кгЪг, h = щ/N, щ = 0,1,...,7V-1. (6.14)
Точки к, отвечающие НП, равномерно распределены по зоне Бриллюэна с плотностью
N^/\Ьу(Ь2у.Ьг)\ = V/(2n)\ V = N3Q0-В качестве приложения выведем критерий вещественности НП
пространственных групп, исходя из общей формулы, приведенной в задаче 2.11: g g g gjv g gjv
= - Z Div (g2)6(k, g2k + b) = — Y Dvv (ta+hah2) =
? gv ? v,a,h2eCk
= - Ye~ik(a+ha)DUh2) = - ^к^2)^Ъ(к + Ь,-к-хк) (6Л5)
s v,a,h1ggk s h2egk
0, D не эквивалентно D *
1, D потенциально - вещественно — 1, D псевдовещественно
