Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь I — число лучей звезы {к}, п — число элементов точечной группы направлений
(кристаллического класса), h — поворотные элементы группы со своими неэлементарными трансляциями.
=- Z %k(h2)=.
nhk=-k
104 6.9. Элементы теории проективных представлений
Отображение г —> D(r) называется проективным представлением, если ?>(п)Дг2) = (u(ri,r2)?>(rir2), |w(ri,r2)| = 1. Совокупность множителей co(ri,r2) называют фактор-системой проективного представления. В силу ассоциативности группового умножения выполняются соотношения:
w(ri,r2r3) ш(г2,г3) = (u(ri,r2) (o(rir2,r3). р-эквивалентные представления и фактор-системы:
D'ir) = D(r)/u(r), (o'(ri,r2) = co(r,,r2)u(nr2)/u(r])u(r2), где u(r) — произвольные числа с \u(r)\ = 1. Множество фактор-систем группы разбивается на классы /»-эквивалентных систем; множество классов фактор-систем {ЛГ} называют мультипликатором группы. На мультипликаторе определяется операция умножения по правилу: KpKq = KqKp = Ks, если (op(ri,r2) co?(ri,r2) = co5(ri,r2) є Ks (очевидно, Ks не зависит от конкретного выбора (op(ri,r2) є Kp и co?(ri,r2) є Kq). В результате мультипликатор {К} оказывается абелевой группой, роль единичного элемента в ней играет класс Ко фактор-систем, /»-эквивалентных системе co(ri,r2) = 1 (соответствующей обычным представлениям группы). Мультипликатор конечных групп содержит конечное число элементов.
Эквивалентные, приводимые и неприводимые проективные представления определяются по аналогии с соответствующими обычными представлениями. Эквивалентные (в обычном смысле) проективные представления обладают одинаковой фактор-системой. Одномерные проективные представления могут относиться только к классу Ко.
Если группа определяется v соотношениями a"bmich... = е, то для проективных представлений возникает v чисел :
D{e) = Diani bmi Cli...) = aiDniia)Dmiib)D%c)... = Е. (6.16)
При переходе к /»-эквивалентным представлениям а/ = аiun\a)umiib)..., и подходящим выбором и(г) можно часть (или все) чисел а/ обратить в единицу. Из соотношений (6.16) получаются уравнения для определения а/ (для точечных групп а/ 2 = 1). С каждой совокупностью полученных решений этих уравнений {aiip)} можно связять элемент мультипликатора Kp. Структура мультипликатора устанавливается соотношениями ai'ip)ai'iq) = (IiXs).
105 Группа представлений G'группы G определяется соотношениями
ni 7 mi Ii 2
a id b с ... = е, а і = е, aid,- = а,а,-, ааг = а га.
Все элементы G' имеют вид g' = hr, г є G. Каждое НП группы G', g' —» D(^r) определяет неприводимое проективное представление группы G, г —> D(r):
так как по лемме Шура D(Zz) = OJ,2/?. h —> СО12 — представление мультипликатора {К}. Для матричных элементов проективных НП имеет место соотношение ортогональности
Для НП, относящихся к одной фактор-системе, справедливо соотношение Бернсайда
Немагнитные кристаллы помимо пространственной симметрии обладают симметрией относительно обращения времени, и полная группа симметрии их Ge=Gx 0, где G — пространственная группа, а 0 — двухэлементная группа, включающая обращение времени 0. "Представления" этой группы при учете обращения времени (0^1), как отмечалось в разделе 5, являются копредставлениями ввиду
антиунитарности оператора 0.
Обращение времени меняет направление токов (и намагниченностей), поэтому 0 не входит в группу симметрии магнитных кристаллов. При возникновении спонтанной намагниченности могут теряться и некоторые элементы пространственной симметрии кристаллов. Так, если кристалл тетрагональной симметрии D^ намагничивается вдоль оси четвертого порядка, то из группы симметрии выпадают ряд отражений, повороты U2 на л около осей второго порядка, перпендикулярных главной оси и т.п. Однако произведения этих элементов на 0 являются элементами симметрии ферромагнитного кристалла, т.е., группой симметрии оказывается некоторая подгруппа Ge, содержащая подгруппу пространственных преобразований G' a G и произведения остальных элементов из G на 0. Подобные подгруппы группы Ge, описывающие симметрию магнитных кристаллов, называют магнитными группами (или группами антисимметрии, черно-белыми группами). Магнитную группу можно представить в виде CJTViMbi G'e =G'+ {г0}, где г <t G', и, имея в виду, что g'rQ є {>9}, a ri0r20 є G',
nr2 = hr3, D(nr2) = D(T1)D(T2) = D(K)D(T3) = Wi2D(r3),
Tatta2 = g.
6.10. Магнитные и цветные группы
106 убеждаемся, что оба множества, G' и {>9}, содержат одинаковое число элементов; G' является подгруппой индекса два как в Ge, так и в G, В принципе это замечание позволяет построить все магнитные группы.
Для построения точечных магнитных групп заметим, что 32 кристаллических класса имеют 58 различных подгрупп индекса два. Дополняя смежные классы этих подгрупп операцией 0 и добавляя результат к подгруппам, получаем 58 специфических точечных магнитных групп.
Магнитные группы допускают дальнейшие обобщения. Можно, например, рассмотреть свойства решетки, принимающие не два, а более значений (цветов), что приводит к понятию цветных групп. Рассматриваются также несколько различных свойств, каждое из которых принимает два значения.
