Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
Задачи к разделу 6
1. Показать, что каждый элемент типа taR(n,ф) с ф ^ 0 является винтовым поворотом. Найти соответствующую винтовую ось.
2. Показать, что элемент типа taS(n,ф), ф Ф 0 представляет собой некоторый зеркальный поворот.
3. Как связаны между собой точечные преобразования г о и г о1, оставляющие неподвижными точки OnO', соответственно? Что представляет собой элемент tJo?
4. Несколькими способами выбрать элементарную ячейку двумерной решетки.
5. Доказать, что объем элементарной ячейки не зависит от выбора базисных векторов.
6. Показать, что совокупность точечных операций симметрии решетки Бравэ, неподвижная точка которых находится в междоузлии, является подгруппой точечной группы симметрии решетки.
7. Проверить утверждение О наличии ПЛОСКОСТИ симметрии CTv для группы К, содержащей ось Cn с п = 3,4,6.
8. Какова схема подчинения двумерных сингоний? Описать деформации, вызывающие соответствующее понижение симметрии.
9. Проследить за изменением типов решеток при деформациях, вызывающих следующее понижение симметрии: Oh —> D^ —> Т>2Ъ-
10. Найти всевозможные структуры пространственных групп моноклинной сингонии.
11. Построить обратные решетки для плоских кристаллов.
12. Построить зоны Бриллюэна для плоских кристаллов.
107 13. Показать, что группы волновых векторов, входящих в одну звезду, сопряжены друг другу.
14. Показать, что разложение приводимых представлений пространственных групп сводится к разложению малых представлений.
15. Если {Єі} — базис малого представления Dk, то {D(gj)ei} — базис малого представления D kj, где kj = gjk. Доказать.
16. Пусть DnD'- НП пространственной группы со звездами {к} и {к'}. Что
2
представляют собой звезды представлений DxD', D\ D*?
17. Показать, что все одномерные представления проективно-эквивалентны тождественному.
18. Найти неприводимые проективные представления группы Cnh, п = 2,3,4,6.
19. Рассматривая группу трансляций кристалла как конечную группу (при периодических граничных условиях), написать соотношения ортогональности для характеров НП.
20. Найти все плоские двухцветные точечные группы.
108 7. Группа перестановок и полная линейная группа
7.1. Симметризаторы Юнга и их свойства
Классы сопряженных элементов группы Pn определяются циклической структурой, а последние связаны с разбиением числа п (п. 1.6). Возможные разбиения изображаются схемами Юнга, например, для п = 4:
[4]
L31J
[22]
[212]
[I4]
Схемы Юнга с определенным образом размещенными в них числами ("пешками") 1,2,..., п называют таблицами Юнга. Таблицу Юнга можно рассматривать как способ нумерации клеток схемы, либо как перестановку "пешек" в клетках, используя естественную нумерацию клеток вида:
і 2 3 4 3 4 5
5 6 7 Тогда таблицы 2 1
8 9
3 4 5 2
1
3 4 5 2 1
и т.д.
соответствуют перестановке
12345 54123
. Число схем Юнга равно числу
НП группы Pn, и естественно попытаться использовать эти схемы для построения НП.
Как отмечалось в разделе 2, все НП конечных групп могут быть построены исходя из регулярного представления путем расщепления групповой алгебры на минимальные идеалы при помощи взаимно нормальных примитивных идемпотентов.
Если D^ (g) — матрицы НП группы G, то роль указанных идемпотентов выполняют элементы алгебры Ат^О = Y * (s)g на элементах алгебры jaDj/*-1 (•) j осуществляется НП Z)(a) с базисом /g-D^O), j = \--,па j. Переход от
естественного базиса алгебры [G] — {g} — к базису \jna / gOjja\•)} (a,/j пробегают все возможные значения) осуществляется унитарным преобразованием, если матрицы D^ (g) унитарны. Обратное преобразование
S = ^j-Df (S)Dfi^-g V 8
(7.1)
а у
109 Два идемпотента группы Pn очевидны:
g п.
т
(7.2)
(8р = +1 для четных перестановок, —1 для нечетных перестановок) и можно связать их со схемами Юнга с одной строчкой и одним столбцом, соответственно. Для других
схем можно составить симметризаторы вида
ґ \( \
ZV Hp
рч \ я kpj
(7.3)
где р — всевозможные перестановки, оставляющие объекты (пешки) в своей строке таблицы (T) для данной схемы, а перестановки q оставляют пешки этой таблицы в своем столбце. Например, для схемы
с= [е- (14)][е + (12) + (13) + (23) + (123) + (132)]. При этом используется естественная нумерация клеток схемы, но размещение п пешек по п клеткам схемы (т.е., таблица Т) может быть любым. Если же использовать другую нумерацию клеток схемы (описываемую, например, таблицей Т), то получится подобный симметризатор ct = txct, где t — перестановка, отвечающая таблице Т.
Свойства симметризаторов Юнга: а) с точностью до множителя с является идемпотентом:
с2 = цс; (7.4)
б) идемпотент (1/ц)с примитивен; в) НП, порожденные симметризаторами, соответствующими различным схемам Юнга [А,] и [А/], неэквивалентны.
Схема [А,] выше схемы [А'] ("предшествует" ей), если первая из неравных нулю разностей (Ai - Ai', A2-A2',...) положительна. Если T и T' — любые две таблицы для схем [А] и [А'], соответственно, то можно определить перестановку s: T —> T', такую что st=t', где t и t' перестановки, соответствующие таблицам T и T'. Например, перестановка для таблиц
