Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
При ограничении собственной ортогональной группой 0+(я), НП, соответствующие ассоциированным схемам, становятся эквивалентными. Это утверждение является обобщением известного для 0(3) положения о том, что при
чистых вращениях векторное представление (схема ^) и псевдовекторное
?
(представление антисимметричными тензорами второго ранга, схема — ) эквивалентны. НП, описываемое самоассоциированной диаграммой, расщепляется на два комплексно-сопряженных НП группы 0+(я). Таким образом, все НП группы O+(п) осуществляются скалярами, векторами и бесследными тензорами более высоких рангов с перестановочной симметрией, описываемой схемами Юнга с числом строк, не превышающим п/1. В частности, для Оз+ это полностью симметричные тензоры, для 0+(4) и 0+(5) схемы Юнга для различных НП содержат две строки и т.д.
Симплектическая группа Sp(я) сохраняет невырожденную кососимметричную форму В(х,у) = -В(у,х) (= Xiy2- Х2Уі+...+Х2у-іУ2у~ x2vy2v-i) • Матрицы кососимметричных форм В = —В, т.е., dct? = (-l)dimSdet5, и форма может быть невырожденной лишь при четной размерности п = Iv. Определитель симплектических преобразований, как показывает детальное рассмотрение, равен +1.
Запишем каноническую кососимметричную форму в виде {х,у} = EijX{yj, 8/,/+1 = -?/+1,/ = 1 при і нечетном, остальные компоненты є равны нулю. Далее определим след тензора по паре индексов
ph-'i-i'i+i-'kik+i-b =є.. (7 32)
Произвольный тензор расщепляется в сумму тензора со всеми следами, равными нулю, и тензоров вида (7.32), аналогично расщеплению (7.31) в случае ортогональной группы. Подпространство бесследных тензоров, инвариантное относительно симплектических преобразований и перестановок индексов, разбивается в сумму подпространств, обладающих определенными типами симметрии относительно перестановок, на которых осуществляются НП группы Sp(n). При этом подпространства, описываемые схемами Юнга с числом строк больше v = п/1, оказываются пустыми.
122 7.9. Разложение НП группы U(n) по НП группы 0+(п)
Множество тензоров г-го ранга с симметрией типа [А,] расщепляется, согласно (7.31), на бесследные тензоры (соответствующее пространство или пусто, или на нем реализуется НП группы О+(п) со схемой (А,)) и тензоры ранга (г-2) Сод, дополненные
множителями ?)iiik . Эти множители обладают симметрией '—'—' , поэтому тензоры G(H1)
могут иметь лишь симметрии [А/] (схемы с г-2 клетками) такие, что во внешнем произведении [А/]X[2] содержится схема [А,]. Таким образом, схемы [А/] получаются из [А,] правильным удалением двух клеток (в частности, удаленные клетки не должны быть из одного столбца схемы [А,]).
Представление ортогональной группы тензорами типа G в общем случае приводимо, и можно выделить из него неприводимую (или пустую) часть, ограничиваясь снова тензорами с нулевым следом. Последовательное проведение этой процедуры приводит к разложению вида:
[X] (А)+1(А')+1(А")+... где схемы [А/], как уже отмечалось, получаются из [А,] правильным удалением двух клеток, схемы [А,"] получаются из [А/] правильным удалением еще двух клеток и т.д. Приведенные простые рассуждения не дают возможности указать в общем виде кратности, с которыми НП ортогональной группы входят в выписанное разложение. Таблицы разложений имеются в литературе (см., например, Джадд и Вайборн 1973). Выпишем некоторые из таких разложений для приведения U(5) —> 0+(5): [2] = (20) + (00), [11] = (11), [3] = (30) + (10), [21] = (21) + (10), [111] = (11), [4] = (40) + (20) + (00), [31] = (31) + (20) + (11), [22] = (22) + (20) + (00), [211] = (21) + (11), [1111] = (10). Так же выглядят и разложения U(7) —» 0+(7) с добавлением дополнительного нуля в индексах НП 0+(7). Исключения:
[111] = (Hl), [Uli] = (НО).
7.10. Некоторые приложения к теории атомных спектров
Одноэлектронные состояния в атоме в нулевом приближении описываются квантовыми числами (nlmims), уровни энергии є„/ вырождены по т/, ms с кратностью 2(2/+1). (При моделировании одноэлектронного потенциала кулоновским полем имеет место и вырождение по / = 0,l,...,w-l; целое число п нумерует уровни в порядке
123 возрастания энергии.) В силу принципа Паули каждое состояние может быть занято лишь одним электроном. Энергия атома в нулевом приближении определяется конфигурацией — распределением электронов по одноэлектронным состояниям. Соответствующие стационарные состояния можно представить в виде слэтеровских детерминантов из состояний отдельных электронов.
В основной конфигурации электроны последовательно занимают нижние по
2 2 6
энергии состояния, заполняя "оболочки" (1 л') , (2л') , (2р) и т.д. Конфигурация, состоящая из полностью заполненных оболочек, не вырождена; в ней равны нулю как орбитальный, так и спиновый моменты. Если внешняя оболочка конфигурации (nl)r не
Ч/ + 24
заполнена, 1 < г < 2(2/+1), то такой уровень
г
v ' /
-кратно вырожден. Вследствие
кулоновского взаимодействия электронов между собой конфигурация расщепляется на
2 cr-j-1
термы L, характеризуемые величиной полного орбитального L и спинового S моментов (рассел-саундерсовское приближение). Термы испытывают дальнейшее расщепление на уровни, описываемые полным моментом J, под действием спин-орбитального взаимодействия.
