Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
Разложить конфигурацию на термы можно с помощью следующих симметрийных соображений. Множество функций \mi\ma...mir) является базисом тензоров г-го ранга над (2/+1)-мерным унитарным пространством представления D® группы вращений, тогда как функции \msims2...msr) образуют базис тензоров над двумерным пространством D<U2) (SU(2)). Оба множества разбиваются на подмножества, обладающие определенной симметрией относительно перестановок частиц Pr. Произведение функций типа [Я,/] и [AJ преобразуются при перестановках по представлению [A,/]x[AJ. Поскольку реализуются лишь полностью антисимметричные состояния всей системы, то достаточно рассматривать произведения типа [А,] х [А,], где значок ~ относится к сопряженному разбиению. Возможные типы симметрии представлений SU(2) описываются схемами с числом строк не более двух, которые сразу дают значения спина S. Соответственно, орбитальные функции должны описываться сопряженными схемами с числом столбцов не более двух. Остается разложить тензоры с симметрией типа [А,] на НП группы 0+(3), чтобы получить возможные значения орбитального момента L. Проще всего это сделать с помощью соответствующих таблиц. Мы проиллюстрируем метод на простейших примерах.
124 Для конфигурации d возможные значения полного спина определяются ?
схемами (S = O) и '—'—' (5=1, три симметричные функции с Ms = 1,0,-1).
ш
в
Соответствующие орбитальные функции обладают симметриями — и — . Но D(2)xD(2) = D(4) + D0) + D(2) + D(]) + D(0\ Старший вектор представления D(4\ |22), (а с ним и остальные векторы) симметричен относительно перестановки электронов. Представление D^ натягивается антисимметричными тензорами (старший вектор |21) -
112)), Z)(2) — симметричными (старший вектор | 20)+1 02) - ^ 111)), Z)(1) —
антисимметричными и D(0) — симметричными. Таким образом, конфигурация включает термы;
d2: 1G51A1^3F53P.
Можно было здесь просто подсчитать число симметричных и антисимметричных функций, которые можно составить из исходных простейших функций, относящихся к данному значению Mi.
3 Mil
Полный спин в конфигурации d S = 3/2 ( ' ' ' ' )и5=1/2( ). Полностью антисимметричные орбитальные тензоры старшим вектором имеют {|210)} (Mi = 3), а к Mi= 1 относятся уже два вектора {|20-1)} и {|21-2)}, так что
l-i ) + 1у
Тензоры симметрийного типа — можно получить исходя из соотношений
BxD =
ф(3) + D(1)xD(2) = D(5) + Z)(4) + 2Z)(3) + 2 D(2) + 2D(]\ В последнем разложении Z)() + Z)(1)
относится к полностью антисимметричным
тензорам, так что оставшаяся часть относится к
'3. 4,
. Таким образом,
ds\ 4F, 4P; 2H, 2G, 2F, I2D, 2P. Терм D встречается в этом разложении дважды, и для различения двух термов
полезно иметь дополнительное квантовое число. Таким числом мог бы служить индекс
НП группы, промежуточной между U(2/+l) и 0+(3). В качестве такой группы
естественно выступает группа 0+(2/+1), являющаяся подгруппой U(2/+l) и содержащая
125 в качестве подгруппы 0+(3). Разложение на термы представлений унитарной группы
можно осуществить последовательным приведением
U(2/+l) 0+(2/+1) 0+(3), и каждый терм описывается мультиплетностью 25+1, связанной со схемой [А,],
индексами (А/) представлений группы 0+(2/+1), содержащихся в [А,], и индексом L НП
группы 0+(3).
Выше мы уже отмечали, что для конфигурации d 2: [2] —» D^ + D^ + D(0\ Разложение на НП группы 0+(5) выглядит так: [2] —» (20) + (00). Второе слагаемое здесь является инвариантом группы 0+(5) и соответствует свертке тензора (в циклических координатах свертка осуществляется с помощью 3/-символов (3.39)). Одновременно оно — инвариант группы 0+(3) и поэтому отвечает представлению D^ (S терм). Таким образом, (00) D(0\ (20) Z)(4) + D(2). Представление (00) впервые появляется в отсутствие электронов на J-оболочке, и говорят, что оно обладает старшинством v=0, тогда как (20) (и вместе с ним G- и .D-термы) обладают старшинством v = 2.
Для конфигурации d 3, [21] (21) + (10). Очевидно, (10) Dm (D-терм) и, таким образом, один D терм обладает старшинством v = 1 (представление (10) впервые
1 3
появляется в конфигурации d ). Остальные термы конфигурации d мультиплетности 2 обладают старшинством 3, а термы 4P, 4F — старшинством 2 (ибо [111] —» (11) — представление, возникающее для двух электронов).
В конфигурациях f " старшинства оказывается недостаточно для однозначной классификации термов.
Задачи к разделу 7
1. Показать, что перестановка s не может быть представлена в виде qp двумя различными способами.
2. Выразить коэффициент р, в соотношении с = \лс через коэффициенты симметризатора и показать, что р — целое число.
3. Показать, что идемпотент е = (1/р)с примитивен.
4. Проверить равенство є = є , где є определено равенством (7.10).
5. Доказать следующее утверждение: если схема [А,] симметризатора Юнга с содержит более п строк, то сх = 0 для любого тензорах над Ln. В противном случае существует тензор Xq такой, что схо Ф 0 .
126 6. Найти составные характеры группы P3 по формуле (7.15) и представить их в виде линейных комбинаций простых характеров.
