Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
Произвольная перестановка из Pn может быть представлена в виде произведения элементов подгруппы Pn_i и транспозиции (п, /2—1). Поэтому для нахождения матриц НП Pn по известным матрицам НП Pn_i достаточно вычислить матрицу U указанной транспозиции. Но VU=UV, где V — матрица, соответствующая произвольной перестановке из Pn_2. В разложении V по НП Pn_2, V=YVrs (fs — первые индексы Y-
116 символов) могут встретиться три типа матриц Vrs: 1) Vrr, 2) Vrs = Vsr, 3) Vrr-I при Xr-I=Xr. В соответствии с леммой Шура Urs>rs = <Jrs,rsErs>rs, UrS:Sr = <Jrs,srErs>sr, причем для унитарных матриц U числа а удовлетворяют условиям
I I2 I I2 I I2 I I2
P^rrjTT — 1» IaV1S,rs| "I" IaV1SjlSr I — 1» ^rr-IjTT-I — ^ (^r-I-^r)-
Согласно п. 2.10:
ZuNW-^^A-* (7.22)
(U)
причем вычисление E1 с использованием (7.17) приводит к следующему результату:
Sw=?!>*(*¦*+1-2*)-
к
Далее, An =%J{in) = jyiij)-%J{ij) = Y^r)E^
і=1 i< j i< j r
где 'Lr — коэффициенты аналогичного (7.22) соотношения для НП Pn_i, и AnU- UAn-I=E (U соответствует транспозиции (и, и—1)). Рассматривая блок rs,rs в этом матричном равенстве, находим после подстановки значений Zjr, Zsrs:
CTrr,rr = CTrr-l,rr-l = (Лг-1 = ^rX
1 = L 2
^Pd VP ^ PV PV , ^ Г<? <?Г Л/ ^riS r,S *
-Lo — V ' « '
'fs,rs Sr, Sr
Xr -Xs + s-r
Выбор фазы <3rS:Sr произволен, и ее можно изменить умножением базисных функций на е ш. Последовательным построением по этой схеме можно найти матрицы НП всех Pn.
Таким образом, все представления групп перестановок оказываются вещественными.
7.6. Внешние произведения представлений симметрической группы
Примитивный ИДЄМПОТЄНТ группы Pr X Pr, d Pr+r<, Сщ ® , как элемент
алгебры [Рг+г'] также является идемпотентом, но не обязательно примитивным. Порождаемое им приводимое представление [А]®[А,'] и называется внешним
произведением представлений [А] и [А']. Его размерность,
Г Г + ГЛ
n[x]n[v]> можно
V г У
117 получить, рассматривая представления групп Vr, Pr-, Vr+rB тензорных пространствах Tr, Tr' и I y >¦'= Tr X Tr
Общее правило разложения внешних произведений представлений [А,]®[А,'] по НП следующее. Клетки каждой строчки [А] заполним одинаковыми символами, скажем, а в первой строчке, Ъ во второй и т.д. Затем будем расширять схему [А] индексами а правильным образом — чтобы получались правильные схемы, но при этом индексы а не оказывались бы в одном столбце. Далее полученные схемы так же расширяются символами Ъ и т.д. На полученные в конце концов схемы накладывается ограничение: добавленные символы при чтении их справа налево в первой строке, затем во второй и т.д. должны образовывать решеточную перестановку символов а,Ъ„...
Например, [А] ® [1] = Z [А' ], где схемы [A rJ получаются из [А] правильным
добавлением одной клетки
Аналогично осуществляется разложение на неприводимые относительно G Ци) части кронекеровского произведения неприводимых тензорных пространств Тщ и Тр.-].
7.7. Связь меяоду НП групп перестановок и групп линейных преобразований
Представление группы Pf в пространстве тензоров ранга/над Ln\ s —» s
f 1 ґ Л ( ' ' Л
_ Cx1 •¦• a j
"і ... f
s =
/
,se(1\..e(f)=e^\Ja^=e(1K..e(f\ (7.23)
h if h if га'1 la'f 4 У
1 ... /
VttI - af
При этом для произвольного тензорах:
(sx)il",i/ =Jc'u|-'u/. (7.24)
Разложение на НП осуществляется проектированием, причем идемпотенты
(1 / р)с = (1 / |ц)У"д bqpq порождают инвариантные и неприводимые относительно РЧ
коммутаторной алгебры подпространства. Коммутаторная алгебра А / алгебры [?] состоит из множества "бисимметричных" преобразований = . А/
является (обертывающей) алгеброй представления П/(А) = АхАх...хА полной линейной
п2+/-1 /
группы в тензорном пространстве. Действительно, размерность [П/04)], равна размерности А/. Более того, верно и соотношение A/© Av = [П/(А) © П v (Л)].
118 Взаимосвязь между групповой алгеброй и коммутаторной алгеброй произвольного представления группы, описанная в разделе 2, позволяет сформулировать следующее утверждение:
Если с — симметризатор Юнга, соответствующий разбиению на п слагаемых (некоторые из них могут обращаться в нуль), то тензоры сх осуществляют НП G Ця). В разложение тензорного пространства на неприводимые части это представление входит лт раз, где лт — размерность НП Pf, соответствующего схеме Юнга, при помощи которого определяется симметризатор. Симметризаторы, соответствующие различным схемам, порождают неэквивалентные НП GL(n). Ограничение разбиениями на п слагаемых необходимо, ибо если схема Юнга содержит больше чем п строк, то множество сх пусто (задача 5).
И, наконец, верно утверждение: любые два НП GЦя), получающиеся из тензорных пространств различного ранга, неэквивалентны. Оно связано с отсутствием соотношений между элементами матриц из G Ця) (неравенства det А Ф О несущественны). Выпишем формулу размерности неприводимого представления группы GЦя) тензорами с симметрией, описываемой схемой Юнга [А,] = [А,і,...Д„]:
-D(h,..Jn)--(25)
