Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
(лWii2W2 I j\j2jm) = (-1)Л+У2_У (у2W2JiWi I j2 Jijm) , (3.52)
соответствующее перестановке столбцов З/'-символа, так что, например,
|027з)72ЗЛІ) = |./І O2./3)./23./)01)7^723^7 •
3.11. Полная ортогональная группа в трех измерениях Полная ортогональная группа: О3 = Оз+хСі = О3++І Оз+. Пространство группы — две сферы радиуса %. НП О3 — Г)(1+) и D^ — четные и нечетные представления (/ — целое!), D(l+\gl) = D(l+\g) = if Xg), ge O3 . Можно ввести абстрактную группу SU(2)xi, имеющую вдвое больше НП, чем SU(2) — D^+\ Группа SU(2)xi гомоморфна на 03+хСі с ядром (е,-е). Поэтому имеет место следующее соответствие представлений SU(2)xi и O3 при полуцелых j:
gl ^ D(j+\±gi) = +DijKg), gl ^ D(j~\±gi) = +DljHg). Иными словами, двузначные представления O3 те же, что и у O3+.
3.12. Двузначные представления точечных групп
Каждой подгруппе G а Оз+ отвечает подгруппа Gt SU(2), гомоморфная на G с ядром (е, -е = q) — двойная точечная группа для G. Часть ее НП совпадает с НП G, а остальные являются двузначными НП G. Для обозначения элементов G'воспользуемся
57 малыми символами сп. В качестве новых элементов фигурируют q ("поворот на 2к") и cnq = qcn, причем (сп, cnq) —» Cn. Рассмотрим, например, элементы двойной группы
октаэдра О': е, q, с2(z) =
vO К
C2Z)q(= iaz, матрица Паули), с^ = -KJy, C1-x^ = -ічх и
т.п. В общем, безразлично, которую из двух матриц ±с„ обозначить через сп. Для определенности через сп будем обозначать матрицу, имеющую в подходящем базисе в
„•___\ А Л
унитарном пространстве вид
ехр(-иш) О О ехр(иш)
, так что Cn = q, Cn1 = спп lq.
/
Соотношение сопряженности Cn = СтСп'СтХ перепишется в двойной группе с учетом указанного соглашения в виде сп = стсп'стх, так что каждый класс сопряженных поворотов (при пф 2) имеет прообразом в двойной группе два класса. Остается решить вопрос О сопряженности элементов С2 и С2 1 (в группе SU(2) они не совпадают, но имеют одинаковый нулевой след). Условие сопряженности, C1 = gc-iqgX, будучи
записано в системе координат, где C1 = -iaz, приводит к следующему виду матрицы g =
г л „..„/ .-.лл
. Такая матрица соответствует повороту на к около некоторой оси,
V
О ехр(-гу) exp iy О
перпендикулярной z. Таким образом, необходимым (и достаточным) условием сопряженности элементов C1, C11 в G' является наличие оси второго порядка, перпендикулярной оси C1. Окончательно разбиение группы О' на классы сопряженных элементов выглядит так:
О': е, q, {8сз}, {8c3q), {3c42,3c42g}, {6с4}, {6c4q}, {6c2,6c2q}. Элементы с 4 2^ и С/\~2) обратны друг к другу, т.е., С/\~2) = c^q, поэтому класс {6С4}
3 2
можно написать и в виде {Ъс4,Ъс4 q}; аналогично {8сз} = {4сз,4сз } и т.п. НП G'можно найти регулярными способами, изложенными в разделе 2. О' имеет 8 НП, 5 из них совпадают с обычными НП О, остальные 3 (два двумерных и одно четырехмерное) — нечетные (двузначные для О), в них q отображается на -Е, соответственно D(cnq) = -D(cn), x(cnq) = -%(сп), откуда, в частности, сразу вытекает, что X(C1) = -X(C1) = 0. Одно из двумерных НП, Гб — это автоморфизм О', и характеры его находятся по формуле (3.15): (2,-2,1,-1,0, л/2 ,->/2,0). Второе двумерное представление, Г7 = Г6хГ2, а характер четырехмерного представления Г§: (4,^4,-1,1,0,0,0,0). = 0, иначе мы
могли бы получить неэквивалентное ГУ = Г^хГг; находим из соотношений
ортогональности.
58 Двойная группа для GxCi — G'xi; если группа G не содержит инверсии, но
содержит другие зеркальные преобразования, CnI, то CnI —» (c„i, cnqi). Заметим, что
2 / .\2 -1 -1. -1 ст =(C2I) = q, о = oq = C2 і, и условием сопряженности элементов CT и ст служит
опять наличие оси второго порядка, лежащего в плоскости отражения. Пример —
двойная группа Td': е, q, {8с3}, {8c^q}, {3c2,3c2q}, {6s4}, {6s4q}, {6ст,6стд}. НП Td' те же,
что и у О'.
3.13. Группы Ли и алгебры Ли
Связь между группами Ли преобразований и их инфинитезимальными операторами (образующими алгебры Ли), рассмотренная в этой главе на примере группы вращений, универсальна. Каждой группе Ли соответствует своя алгебра Ли, обозначаемая так же, как и группа, но малыми буквами [SU(n) —» su(n)]. Приведем здесь лишь некоторые определения, теоремы, примеры, относящиеся к этому предмету.
Алгебра JIu - векторное пространство L, на котором для любой пары элементов задано умножение Ли [X, У], удовлетворяющее аксиомам
(1) линейности: [аХ + ?7, Z] = а[Х, Z] + ?[7, Z] (а, ? — вещественные или комплексные числа),
(2) антисимметричности: [X, У] = -\Y,X\,
(3) [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, Х\] + [Z, [X, Y\] = 0 (тождество Якоби).
Пусть {е,} — базис L, [е7, е^] = сдег- Числа сд называются структурными константами алгебры Ли. Примеры алгебр Ли:
Полная комплексная линейная алгебра Ли gl (п,С) — множество всех комплексных пхп матриц с коммутаторами в качестве умножения Ли, [X, У] =XY- YX. Подмножество матриц с нулевым следом образует подалгебру s\(n,C) (или An_i).
Пусть Ф(х,;у) — невырожденная билинейная форма в m-мерном комплексном пространстве Vm. Множество линейных преобразований в Vm, удовлетворяющих условию
