Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
Г3(пост.Н): IX1-X2S Y2-X3+ л/з Y3, IX2-X2S Y3-X1+ S Y1, X и колебательное представление Г3:
бз(Гз) = IX1-X2-X3+ л/3 (Y2-Y3), Q4(T3) = IX2-X3-X1+ л/3 (Y3-Y1). В Q3 атом 2 смещается перпендикулярно стороне 12 треугольника, атом 3 — навстречу ему перпендикулярно стороне 13; величины смещений всех атомов равны. Далее из Гзм и Г3(пост.Н) комбинируется представление, соответствующее поступательному смещению всей молекулы:
Г3(пост.): 08 = ^+IX1-X2-X3S (Y2-Y3), Q9 = -X0+ л/3 Y^lX2-X3-X1S (F3-Fi),
и ортогональная комбинация (промежуточная): Г3(пром.): Q' = X(r-(M/6m)[lX1-X2-X3S(Y2-Y3)],
Q" = -X0+ л/3 Yo-(Mfem)IlX2-X3-X1S(Y3-Y1)I Наконец, из Гз(Нг) и Гз(пром.) комбинируем Гз(вращ.) и второе колебательное Г3': Г3(вращ.) Q11 = (6m/M)Q' - (GZho)(IZ1-Z2-Z3), Q12 = (6m/M)Q" - (GZho)(IZ2-Z3-Z1),
где а — расстояние от оси до атома Н, ho — расстояние от центра тяжести молекулы до плоскости атомов Н. Q11 соответствует повороту около оси, проходящей через центр тяжести параллельно Q12 — около оси, параллельной у2.
T3': Q5 = (a/ho)gf+(l+M?m)(2Zi-Z2-Z3), Q6 = (a/h0)Q"+(l+M?m)(lZ2-Z3-Z1).
Матрица упругих постоянных в координатах Qi-Qe имеет вид
73 11 h\2 0 0 0 0 >
12 hi 0 0 0 0
0 0 A33 0 A35 0
0 0 0 A33 0 A35
0 0 hs 0 A55 0
0 0 0 U35 0 h55j
Диагонализация ее сводится к решению двух квадратных уравнений, в результате чего получаются частоты двух полносимметричных невырожденных колебаний типа Гі и двух двукратно вырожденных колебаний типа Г3.
4.3. Классификация уровней энергии и стационарных состояний квантовомеханической системы по НП группы симметрии
Преобразование однозначных функций при преобразовании аргументов: пусть x'=gx — взаимно-однозначное отображение, тогда, по определению
/(Xr)=Ax), или [D(g)f\(gx) =Axl или =A?"*)- (4.16)
Если {g} — группа, то соответствие g —> D(g) — линейное представление {g} в функциональном пространстве (задача 5). Если якобиан (определитель) преобразования gравен +1, то представление D(s) в гильбертовом пространстве унитарно:
(D(g) f,D(g)<p) = \f*(s~1xMg-1x)dx = \f*(y)q(y)dy = (/,cp).
Представление, порождаемое функцией /— реализуется на множестве {D(jg)f}, S є G. Разложение произвольной функции в сумму функций, преобразующихся как определенные строчки НП:
/=Лл{а)=Х/(а)> л(а)ао*D(S)f. (4.17)
S
ш а o g
Если на функциях ср/а) осуществляется представление Га, то на функциях ср/а) * осуществляется представление Га*.
Группа симметрии системы (гамильтониана): G = {g}, H(gx) = Н(х) (в шредингеровском представлении х — координаты, спиновые переменные). Инвариантность собственных подпространств H относительно группы симметрии:
H^ni = En\\)ni, H(s~]x)\\fni(s~]x) = En\\fni(s~lx), HD(g)\\fni = EnD(g)yni. (4.18) Коммутирование гамильтониана с преобразованиями симметрии D(g) (Н — элемент коммутаторной алгебры для [Z)(g)]): D(s)Hyni = EnD(s)ynu сравнивая с (4.18), находим
D(g)H = HD(s) (4.19)
74 применительно ко всем стационарным состояниям, а, значит, и для всего пространства состояний. Представление, которое осуществляется согласно (4.18) в собственном подпространстве гамильтониана H, как правило, является неприводимым, и индексы этого НП можно использовать для характеристики уровня и независимых собственных функций: Ea и \)ffa\ Яу/а) = Ea\\ifa\ Одинаковые НП различаются дополнительным индексом t: Eat. Приводимость представления в некотором собственном подпространстве H можно рассматривать как случайное вырождение состояний, не связанных преобразованиями симметрии.
Из квантовой механики известно, что перестановочность гамильтониана системы с эрмитовым оператором связана с сохранением во времени физической величины, описываемой указанным оператором. Если величина имела определенное значение в какой-то момент времени, то сохраняется это значение, и в любом случае не меняется со временем среднее значение величины. Таким образом, симметрия системы, выражающаяся в соотношениях (4.19), связана с некоторыми законами сохранения, Так, если система инвариантна относительно вращений (изотропна) в трехмерном пространстве, гамильтониан коммутирует со всеми операторами представления группы вращений в пространстве состояний, а, значит, и с эрмитовыми инфинитезимальными операторами Ja (раздел 3.3). Физическая величина, сохранение которой связано с изотропностью системы, есть момент импульса, поэтому Ja с точностью до постоянного множителя следует отождествить с оператором момента импульса (углового момента) системы.
С симметрией относительно пространственных трансляций связан закон сохранения импульса системы, с симметрией относительно сдвигов во времени — закон сохранения энергии. Из дискретных симметрий отметим пространственную инверсию: если система инвариантна относительно инверсии, то имеет место закон сохранения четности.
4.4. Применение теории групп к вычислению матричных элементов
Определим неприводимые тензорные операторы 0[а\ і = 1,2,...,па :
Dig)^ (x)D~] (g) = C^ fe"1X) = Y^Df (g)Of (х) (4.20)
75 Л Л Л л л J
(запись преобразования операторов в форме GO = D(g)OD(g~ ) устанавливает связь
