Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
2
2к+т'-т / р.\2]+т-т'-2к
cos-
V ^J
е-™Фіе-'™Р2
(3.26)
Соотношения ортогональности для матричных элементов:
J^ *(g)D^\g)dg = j^lbhhЪт,п,Ътп, (3.27)
где интегрирование ведется по пространству параметров группы SU(2). Если подынтегральная функция четная, Да,?) = Д—а,—?), т.е., если 2/ь 2/2 оба четные или нечетные, интеграл разбивается на две равные половины, иными словами, он представляет собой просто удвоенный интеграл по пространству параметров группы R3. Соотношения ортогональности для характеров удобнее всего записываются через параметры (а,0,ф), поскольку = х(а):
2 71
Jxy *(g)%j<g)dg = *K Jxy *(a)X/(a)(l-cosa)Ja = 167i25#. (3.28)
о
При совпадении четности 2у и 2у" интеграл можно брать в пределах (0,я).
Матричные элементы (3.26) называются обобщенными сферическими функциями. Обычные сферические функции легко получить из них следующим образом:
Ь(щ, 0, ф 2)YJtn (Э, a) = Yjm ((э-, а') = g -1 (Э, а)) = X (Фі>19>Ф2 Ф, а).
т'
Полагая фі = а, 0 = Э, находим (О',а') = (0,-фг) и, по определению сферических
I 2 ' 1
функций, Yim (0,-ф2) = J-Sw0 ¦ Умножая обе части полученного равенства на
v 4тг
^km * (а' Фг ) и суммируя по т, находим:
7ум(Э,а) = *(а,»,Ф2)- (3-29)
513.8. Коэффициенты Клебша-Гордона
Согласно определению п.3.5:
е0'з) = у
w1w2
gO'l )е0-2)
wjw2 j3w3 wj w2 '
или
|ЛЛізтз) = Y(jimiJ2m2\JiJ2J'3m3 )\і\т\)\І2ті), т1+т2=тъ. (3.30)
w1w2
Последнее соотношение получается из
J1J2J3J3 )= YOlmIJ 2™2\ J1J2J3J3
w1w2
/з-тз-кратным применением оператора /_, а коэффициенты (./'і Щ.І2т2 \ І\./2./3./з) находим с учетом равенства ./+|./1 ./2./3./3)= 0- Отсюда вытекает рекуррентное соотношение
0 = {і\ЩЇ2т21 Jdihh )л/(Л " wi ХЛ + +1) +
+ (./I^l +1./2W2 - 11 ./'1./2./З./З )V(./2 + W2 )(./2 - W2 + 1)
и
(A^i2W2 I ЛЛУзУз) ¦= C(Hhh)Kx^h (-1)7'1""1 Г! +Щ ^2+:
VOi -wi)!O2 -w2)!
C(Jdih) = Uddih І1 І1І2ІЗІЗ Л 7ТТТ77Г : TTT-
V (2іі)!(і2 + із -іі)!
Коэффициент С находим из условия нормированное™ вектора | ./1./2./з./'з) • Возникающую при этом сумму легко вычислить, используя равенства
a + ?
V п у
Z
\ т
wv /
\n~mJ w
Х(-1)'
т — 1-а
W
Jjl-Ttlj
(3.31)
первое из которых получается путем сравнения коэффициентов при хп в обеих частях равенства (1 + х)а(1 + х)р =(1 + х)а+р (а и ? не обязательно положительные целые числа), а второе — следующей заменой биномиальных коэффициентов:
а(а-1)...(а-и + 1)
Vй/
= (-1)
„ (и -1 - а)...(1 - а)(-а)
= ("I)"
и —1-а
п\ v п\
Фаза коэффициента С (а с ним и всей системы канонических векторов \j3Tn3}) произвольна, и мы положим
52
, Ui + h + Уз + O'C/I - ./2 + Уз)¦ U2 + Уз - y'l)! Применяя, наконец, к вектору ІУ1У2У3У3) оператор
к
получим после некоторых преобразований (Уі^іУ2те2ІУ'іУ2Узтез) =
Ґ : ™ \
.к .j3-m3-k
У1-У2-
Уз "ffl3 к
= 5 (2у 3 + Wi + У 2 ~ У з)! (У і ~ fflI)! (У 2 ~ ffl2 Жу з + ffl3)! (У з ~ ffl3)! х
М,+М2'МзК/|+./2+./3 + Wi +Уз -У2)!(У2 +Уз "УїЖУї +fflOKy2 +ffl2)!
x
у (_1)Л-Иі-* (y'l + wI + ^)• (у'2 + Уз -fflI- k)l к ^Ki з - ffl3 - *ЖУі -fflI" ^)• (у2 - Уз + fflI +
(3.32)
Вследствие ортогональности матрицы коэффициентов Клебша-Гордона имеют место следующие равенства:
{іітіІ2т2 |УіУ-2Узтз)= (УіУ-2Узтз IІітіІ2т2)' (3-33)
Y^{hm\J2m2 |y'iy'2y'3ffl3>(y'lffliy'2ffl2 |УіУ2Уз'тЗ ') = 5hti5m3m3'>
Щт2
Ys{hm\J2m2 \ііІ2Ізтз)(ііті І2тАііІ2Ізтз) =
hm з
(3.34)
3.9. З^символы и их свойства
Комплексно-сопряженные НП эквивалентны друг другу:
или, для инфинитезимальных операторов,
JU) *?(/) =_cO')jO')_
Применяя это соотношение сначала к повороту около оси z (/=3), находим Cmn=cIfim-Ti- Вычисляя матричный элемент (т,-т—1) в равенстве J _С- -CJ+, находим: cJm+] = -с]т. Выбирая cj = 1, имеем
С(?=ЫУ-т8щ_п, D<a *(g) = (-ir-m'D%m(g). (3.35)
Отметим, что CmIt2^=Emn (см. (3.23)). При целых j матрица C^ симметрична, при полуцелых антисимметрична, соответствующие представления, согласно п. 2.8, потенциально-вещественны и псевдовещественны.
53В соотношении
D^ (g) ж ?><*> (g) = S-1 (X Dw (g))S возьмем матричный элемент (JiW1J2W2I, IiiW1lJ2W2') , затем умножим обе части на
^m от ' * и проинтегрируем по группе:
* (g)dg = J^-Qimi j2m2 j j3m3Xi1W1 '72^21 і>з'). Пользуясь (3.35) и вводя Зу-символы
Ol і2 ІЗ 4
ivwi w2 w3
V2-Z3 +1
-(ііт1І2^2ІІ1І2ІЗ "™з)>
(3.36)
получаем симметричное относительно /ь /2, /3 соотношение
І1 і2 ІЗ
wi w2
w3
І1 і2 ІЗ
VwI
w-
w3
(3.37)
J-Dmi^)D^g)D^,(g)dg = Ц
Полагая т,-' = ті, находим отсюда, что перестановка любых двух столбцов З/'-символа может лишь изменить знак этого символа. Фактически имеют место следующие свойства симметрии Зу-символов:
f h ./2 ІЗ 4 wi w2 w3
і 2 І1 ІЗ w2 wi w3
( Jl ІЗ І1 4
vw2 w3 wi
= І)7' +72 +Уз
^ І1 і 2 ІЗ 4 -Wi -W2 -W3
Доказательство осуществляется при помощи вытекающих из (3.37) равенств
(3.38)
Ji Ji із
VwI
ґ
т-