Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
ехр(-г'ХЛ^) = exPHZ h ^)х ехрН'Х ]к ' )•
Разлагая в ряд по ^ и сравнивая члены первого порядка по получим Jjl = jkxe'+ exjk\ или короче Jk = jk + jk • Этот результат сразу обобщается на произведение большего числа (не обязательно даже неприводимых) представлений Z)^xZ)^x...xZ)^ ("сложение моментов")-.
Jk =j\k +J2k + ... +.ink. (3.21)
Здесь jtk~ сокращенная запись оператора в]х...хемх/йхе/+1 х...
Для двух НП: J3 emfm'= (т + т*) emfm>. Рассмотрим линейную оболочку векторов
ejJj '> J-ejJj'' J- ejJj '> • • •
Согласно построению пункта 3, на этом подпространстве осуществляется НП D^+7"'. В дополнительном подпространстве (ортогональном дополнении) максимальное собственное значение J3 равно /+/'—1, к нему относится только один собственный вектор, перпендикулярный J-Sjfj-, и последовательно действуя на этот вектор оператором J_, можно выделить НП D^+-1 Окончательно
D^xD^ = Dij+j,) + Dij+j+ ... + Г)(ІИ'1). (3.22)
Простой подсчет убеждает, что число собственных векторов J3, относящихся к собственным значениям | j -j'\, ..., О, одинаково, поэтому в (3.22) ряд обрывается на j?j - j I) Фактически мы описали процедуру получения канонического базиса для представления Коэффициенты разложения векторов канонического базиса по
естественному базису называются коэффициентами Клебша-Гордона.
На тензорах в трехмерном пространстве осуществляются тензорные представления-. D^xD^x...
х?>(1). Их ранг равен числу "множителей". Более
48 фундаментальную роль играют спинорные представления D(V2)xD(V2)x... х [)(х12\ охватывающие как одно-, так и двузначные представления группы вращений.
3.6. Спиноры и спинорные представления
Согласно определению, спинор r-го ранга — элемент г-кратного произведения двумерного унитарного пространства на себя, по существу, обычный тензор на двумерном комплексном пространстве. Особенность спинора обусловлена необходимостью связать его с реальным трехмерным пространством и вращениями. Поскольку единице R3 отвечают две матрицы + ее SU(2), то спиноры нечетного ранга, как объекты физического пространства, оказываются определенными лишь с точностью до знака.
Из спиноров второго ранга можно составить одно инвариантное относительно SU(2) подпространство L\ ~ е+ е_ — е-в+' (D(V2)xD(V2) = D((>) + D(])), причем для спиноров вида SrI, где ?,,г| — спиноры первого ранга, этот инвариант (проекция на L\)
пропорционален (с, = с, )
f О 1Л
^ + r\+ =eik^1 r\k, Eik= _
Viu.
(3.23)
Ковариантные компоненты спинора :
Sz ~гиАк -~ги^>к> S' ?'к -
Ґ0
Vj
1 о,
Введенный таким образом "метрический" тензор в (к позволяет свободно переходить от контравариантных к ковариантным и смешанным компонентам спинора любого ранга и производить операции свертки спиноров по любым парам индексов.
Симметричные спиноры. = р _ любая перестановка индексов
i\,h,...Jr. Из определения вытекает, что любой симметричный спинор выражается через следующие H-1 спинор:
лД7
= а + тЮ-т)! (!) а+т) и+я+1) JM + ^ т V (2 у)! + + "
(3.24)
Подпространство симметричных спиноров инвариантно относительно SU(2). Базис (3.24) является каноническим базисом НП веса j :
49 JiVm =
J-Vm =
j+ m j-m
\(j + m)\(j - m)\
(27)!
(27)!
(j+m -1)1(7 -іи + 1)!
(j-m + l)\(/m_i = j(j + m)(j - m + l)y
m-1
(здесь фактор j-m+1 представляет собой отношение числа слагаемых в выражении J_v|/m к числу слагаемых v|/„_i). Таким образом, все НП SU(2) (и R3) фактически осуществляются симметричными спинорами.
3.7. Матрицы неприводимых представлений группы вращений
Предварительно отметим формальную аналогию между спинорами г-го ранга Q=Qh2- ігєіреа^...ЄіР и r-линейными формами над (е+, е_) (с коэффициентами QU2 -'ry Симметричным спинорам соответствуют симметричные формы или полиномы г-й степени (формально отбрасываются верхние индексы е/^):
++...+—
j+m j-m
im
(j + mV-U - mV-
(e+)J+m (О
j-m
V)/.. ,...,V)Іт <->.
(2 j)\
-ei+mej-m.
(j + m)\(j-m)\
Поэтому для написания канонических матриц НП группы вращений достаточно выяснить, как преобразуются при вращениях друг через друга 2j + 1 полиномов типа
MW-
D(a,?)\\f т =Yj Dm,m(a,?)\\f т, =
(27)!
(j + m)\(j-m)\
(ае+ — ? * )]+т фе+ + + а* е_)
j-m
(27)!
(7 + m)\(j -
j + m
кк' V К
j-m
V к /
а
j+m-к
*\КП *J-m-K' Rк
(—?*) а
?K (е+У+т~к+к (е_у-т~к+к.
Можно считать, что к,к' пробегают по всем целым числам с учетом того, что факториалы отрицательных чисел обращаются в оо. Далее вместо к' вводится новый индекс суммирования т' = т - к + а:', и окончательно:
D4> (g,P) == У (-Dk + m)Kj - mnj + "W')! ?—
тт ^ k!(7 + w-k)!(w'-w + k)!(7-w'-k)! .
(3.25)
50 Соотношение (3.25) выражает матрицы НП через параметры Кэли-Клейна a,?. Равенства (3.17) и (3.20) позволяют выразить их через углы Эйлера (фі,0,фг) и параметры (а,0,ф):
^(ФіДФ2)=
ZH)
к-т+т' ^j + m)\(j-m)\(j + my.(j-my.
ґ о\
к ](J + m — к)\{т—т + к) !(у - т'-к)!
. 0
sm-
V "lV
