Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
7. Осуществить фактическое разложение представления D(j)xD(V2\
8. Составить таблицы разложения тензорных и спинорных представлений различных рангов.
9. Показать, что ковариантные спиноры преобразуются согласно представлению
?,(1/2)*
10. Вычислить От0(/)(а,6,ф) при / = 0,1,2 и проверить выполнение соотношения (3.29).
11. Вычислить коэффициенты Клебша-Гордона (jm 1A m'\jM) по общей формуле (3.32). Сравнить с результатом решения задачи 7.
12. Найти матрицу перехода от канонического НП D^(g) к вещественному представлению при j целом.
13. Найти связь между параметрами (^i, ?,2, ?,3) и (а, ?).
14. Показать, что функция vF0 = У
Ji Ji
VwI
ТПп
J 3
W3
VZyi V72 V73j инвариантна
т тп\ т w2 т w3 г
относительно вращении. 15. Рассмотрим следующий однородный полином:
J г
и
1 V1 W1
U-,
Vi
W1
U2 V3 W3
E
"Za=^b=IlC=J
U1 Ьх
02 bI
03 ЪЪ
с3
ал а~> a? h b-, Ы Сл с-, с-, U1 U22 «з3 V1"1 V22 V33 W1 W22 W33
62 а) Установить свойства симметрии коэффициентов Kj при перестановке строк, столбцов и транспонировании. Выписать в явном виде аналитическое выражение этих коэффициентов.
б) Показать, что
K1
ґ Jl~ml Ї2~т2 Н~тЪ N
Л + mI І 2 + т2 із + щ І2 + і3 - Jl Jl + І2 ~ ІЗ Jl + І2 ~ ІЗ
л/(л "тіжіі +щжї2 -w2)!(72 +w2)!x
X VoЗ "тзЖіз + тзЖі2 +із - /і)!(./'з + іі -./'2Ж./1 + ./2 -із)! = /(-7) в) Введем обозначение
^il І2 ІЗ ^w1 w2 w3
\
' І1 і 2 ІЗ vwj w2 w3
i'l"wl Ї2~т2 Зъ~тъ jl+Щ J2+m2 J'3+Щ _ї2 + ІЗ - І1 Jl + і2 - ІЗ І1 + І2 - ІЗ. Каковы свойства симметрии Зу-символа в новом обозначении? Выписать в старом обозначении новые свойства симметрии Зу-символа.
г) Пользуясь выражением для коэффициента Kj, написать новую разновидность аналитической формулы Зу-символа. 16. Вычислить следующие 6/-символы:
Л 2 2j
\а b с\ \а b с ] [1 с-1 oj'l1 c~l b + X\
17. Вывести формулу (3.47).
a b с dec
f / о
с-\ Ъ-\У |1 с-1 Ь-\\
I а
Ъ с
с\ ы
18. Вычислить
19. Доказать, что в гомоморфизме G —> G* 1) подгруппа H a G отображается на подгруппу Н*а G*, 2) множество всех элементов H a G , которые отображаются на подгруппу Н*а G*, является подгруппой.
20. Найти двузначные представления групп C00, C00V
21. Найти характеры двузначных НП групп D2, D4, Т>2&.
63 4. Некоторые физические приложения теории групп
4.1. Влияние симметрии на физические свойства кристаллов
Макроскопические свойства кристаллов определяются тензорами различных рангов в трехмерном пространстве: скалярами (плотность, температура и т.п.), векторами (неиндуцированная электрическая поляризация), тензорами второго ранга (диэлектрическая проницаемость, электропроводность, теплопроводность), третьего ранга (пьезоэлектрические модули), четвертого ранга (модули упругости) и т.д.
Если провести с кристаллом эксперимент, затем осуществить поворот (или зеркальный поворот) образца из точечной группы кристалла К (т.е., кристаллического класса, см. раздел 6) и повторить эксперимент, то результат эксперимента не изменится. Это можно сформулировать в виде принципа Неймана: группа симметрии любого физического свойства кристалла включает точечную группу К этого кристалла.
Тензор г-го ранга X под действием элементов группы К преобразуется согласно приводимому представлению ГухГух...хГу = Г/, где Гу — трехмерное векторное представление группы, и пусть разложение на НП имеет вид:
Tj = N1T^N2T2+... (4.1)
где Гі — тождественное (инвариантное) представление. Инвариантность тензора относительно преобразования из группы К означает, что он лежит в TVi-мерном подпространстве, на котором осуществляется НП Гь Иными словами, инвариантный тензор имеет Ni линейно независимых компонент. Математический аппарат, развитый в предыдущих разделах, позволяет найти как число N, так и сами инвариантные
тензоры путем проектирования с помощью операторов P^ = — Z ^Vr (^) (cP- (2.18)).
g geK V
Часто для установления связей между компонентами тензора явно используются условия инвариантности тензора:
X = D(g)X, gcK, (4.2)
1V
которые расписываются по компонентам с использованием наиболее удобных систем координат.
64 Рассмотрим для примера кубический кристалл с К = О, Гу = Г4 (трехмерное НП группы октаэдра), Г4 = Гі + Г3 + Г4 + Г5, т.е., тензор второго ранга имеет лишь один кубический инвариант:
5?) =lBAW(g)xDW(g)]X; я® =lI.D$\g)Dtt(g)Xir =UlSpX.
S S giT *
Здесь мы воспользовались соотношением ортогональности матричных элементов НП (2.1).
Если тензор обладает той или иной симметрией относительно перестановок индексов, то для получения разложения (4.1) оказываются полезными формулы вида
[(Га + гь)2] = [Га2] + [Гь2] + ГахГь , (4.3)
вытекающие из соотношений (2.7). Так, тензор модулей упругости X, определяемый соотношением F = XukmUuUkm (F — свободная энергия, щ — тензор деформаций),
симметричен по первой и второй парам индексов, а также относительно перестановок этих пар. Поэтому компоненты этого тензора преобразуются по представлению группы вращений
