Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
w3
І1
Ui
Jl ІЗ і2
vwi w3 w2
il U
Jl
Jl + ІЗ із
-ІЗ -
із
-ІЗ
Jl
Jl + із
і2 І1 ІЗ wi w3
VW2 /
І2 І1 /і" і1 + із і1
Jl
/ v wi
Jl
-W2
із
-W3
І1
із
-ІЗ
Jl
із
І1 І1 із із
простым подсчетом знаков правых Зу-символов по формулам (3.32), (3.36). Более сложные свойства симметрии 3/-символон получил Редже (задача 15). Из (3.34) вытекают соотношения ортонормировки. Некоторые частные значения 3/-символон:
і і о
w —w о
(-1)
j-m
JiJTl'
і k J
-J о J.
(2 і)!
j(2j-k)\(2j + k + \)\'
(3.39)
3.10. 6j- и 9]-символы
6/-символы возникают при рассмотрении произведения трех НП:
D^ X D^2^ xDU3\ Поскольку D^ может входить в это произведение несколько раз,
54 канонический базис определяется неоднозначно. Если eD^ где
?)(іп) є ?>0'l) х ^ т0 можно однозначно определить векторы
IUMJujym) = Z UlmIJ'2^2 1712^12 ){j\im\ljy™3 I J'm)\ J\m\)| І2т2 )| Ізтз )• (3-40)
Щ
Если D(/) є DUl) x D(723), где ?>°'2з) є D(7'2) x 0(7з), то аналогично
I Jl С/2./3 )J23 Jm) = YU'lmlJ23m23 \jm){j2m2J'3m3 \ І23т23 )| JlmI )| І2т2 )| ІЗ^З )• (3-41)
Tt4
Векторы двух канонических базисов (3.40) и (3.41) связаны соотношением вида (2.14)
при помощи унитарной матрицы b (здесь оба базиса ортонормированы, роль t, Ґ играют/12 и /23). 6/-сиMROл определяется через матричные элементы этой матрицы:
Jl J 2 Jl 2
{U1J2)ІиІзІ IJi Uгіг)і2зі) = ^X)h+h+h+J J(2jl2 + Iyij23 +1) Л
3 J J 23 ^J
(3.42)
Составляя скалярное произведение векторов (3.40) и (3.41), суммируя по т и производя некоторые преобразования(перестановки столбцов в Зу-символах, изменение знаков пі), получим выражение 6/-символа через З/'-символы:
ZH)
all т
\Г
Ш-щ)
Jl J 2 Jl2
к -Ttll Ttl2 Ttll2
J 3 Кт3
J 2 J 23
-TtI2 Ttl23
J 3 J J12
Ttl3 -Ttl — Ttly2
(3.43)
I Jl J2 Jl2 I _ [ІЗ І І23 J
Г ІІ І J 23
x
ущ m -W23,
Для того чтобы 6/-символ отличался от нуля, согласно этой формуле должны выполняться соотношения треугольника для троек j, указанных в качестве верхних рядов З/'-символов. Из этой же формулы вытекают
1
v J свойства симметрии 6/-символов: они не меняются при любой перестановке столбцов символа и перестановке верхних и нижних аргументов любых двух столбцов. Все эти свойства можно наглядно представить себе, изобразив 6/-символ в виде тетраэдра (см. рис.). Другое выражение 6/'-символа через З/'-символы получается после подстановки в соотношение типа (2.14),
I Jl U2J3 )./23./'w) = Z {U1J2 ) JuJiJ I Jl (./2./3 )723./)1 (./1./2 ) Ju JiJm) , (3-44)
hi
55 выражений (3.40), (3.41), сравнения коэффициентов при IiiWjy2W2J3W3) в обеих частях равенства и ряда несложных преобразований:
I Jl Jl J3 I74 У5 У 6
ґ j\ Ji JзЛ VmI mI тъ
(3.45)
= ^ ^1^4+75+76-^4-^5-"? w4w5w6
Ji J5 Je У Ja JI Jб
^m1 — m5 m6
— m*
Ja J 5 із
— »it
Это выражение удобно использовать для получения явной формулы 6/-символа. Полагая wi =ji, w2 = -/2 и подставляя выражения Зу-символов (3.33), находим:
^ (-1)z (Z + 1)! А (Л 72 7з) А (7! 75 76) А (74 72 76) А (74 75 7з)
Jl Jl 7з 74 75 7б
(z - Л - 72 - Уз)! (z - Л - J5 - 7б)! (z - Ja ~ Ji ~ Je)! (z - JA ~ J5 - Уз)! .X (Л + 72 + Ja + У 5 - z)K72 + Уз + У 5 + У б ~ 2)!(7з + Уі + У 4 + Уб ~ z)!
(3.46)
где
A(abc)=
(a + b — c)\(a — b + с)\(Ь + с — а)\
(3.47)
(3.48)
(а + Ь + с +1)!
Вследствие ортогональности матрицы ((УіУ'2)Уі2У'зУ |Уі(У2У'з)У2зУ') имеем
Х(2./23 - 1)(2/|2 - 1)Р3 J Hlh J 712I б(./23,./23').
jl2 [Уі У2 У23 J [Уі У2 У23 J
Наконец, рассматривая последовательно три схемы связи трех моментов (трех НП),
находим:
Jy з У У'і2 IJ Л
723
9/-символы связаны с матрицами перехода между каноническими базисами 1(./1./2)./12(./3./4)./34./^) и I (y'l./з)/|3(./2./4)./24y'w) следующим соотношением:
((У1У2 )Уі2 (У'зУ4 )У34У I (y'lУз )y'l3 (У2У4 )У-24У') =
Уі У 2 У12 Уз У 4 У 34 Уїз У24 У
Выражение через З/'-символы получается точно так же, как и для 6/-символов:
^ .¦ .¦ „¦ V „¦ „¦ „¦ \ґ
Z (2у-23 + 1)(-іУ23+Уі2+У31 \73 7 712 U 71 7 J'23 I = J-7'2 7 -7'31
[y'l У2 У'23 J [у2 Уз Узи [у'з У'і У'і2.
V(2y12 + 1)(2у'13 +1)(2724 + 1X2734 + О
(3.49)
Уп Уі2 Уїз
У 21 У22 У23
У'зі У32 Узз
= Z
all w
Уі1 Уі2 УїЗ
^W11 W12 W13
У21 У22 У23
^w21 W22 W23
У11 У21 Узі
^w11 W21 W31
У12 У22 У32
^w12 W22 W32
Узі У32 Узз
^w31 W32 W33
. N
Уїз У23 Узз
W13 W23 W33
(3.50)
56 Свойства симметрии 9/-символа вытекают из этого равенства: при нечетной перестановке строк или столбцов 9/-символ умножается на (-1 )J, где J — сумма всех аргументов символа. При четной перестановке и транспонировании символ не меняется. Выражение через бу-символы:
J11 J12 J13 ./21 J 22 J 23 І 31 і 32 І з з
__V(-1)2x(2x + 1h ^11 ^21 ^31Lp12 -^22 -^згНіїз J 23 ізз
Tj ІІ32 У 33 * Лі21 X 723 И* Лі І12,
(3.51)
Оно легко получается, если последовательно перейти от базиса | Oi/3 )/| 3 (./2./4 )./24 Jm) к базису І Oi ./'2 )./'|2'Оз Ja )./34'./т) ПРИ помощи равенства (3.44) и результат умножить на I Oi ./'2 )./'i2 (./3./4 )./34./'т) • Отметим, что здесь, как и в ряде предыдущих преобразований, следует иметь в виду соотношение
