Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
т-
a av і
и, умножая на ф,/ц)*т,т и суммируя по гс, получаем (2.11), где Jj = Y.a?avyJa) (aav — целые числа).
Если H — инвариантная подгруппа группы G, h —» J(A) — некоторое ее представление (у), то h —» Jg(A) = d(ghg~l), g є G также является представлением (задача 2), которое называется сопряженным к у относительно G. Если исходное представление неприводимо, то неприводимы и сопряженные к нему представления. Совокупность неэквивалентных друг другу сопряженных НП называют орбитой H относительно группы G. Имеет место следующая теорема:
Пусть Г — НП G. При ограничении подгруппой H Г разлагается по НП подгруппы H уа, принадлежащим одной и той же орбите, причем каждое уа встречается в разложении одинаковое число раз (т, кратность орбиты).
Можно построить все НП группы G, исходя из НП ее нормального делителя Н. Мы рассмотрим такие построения на примере пространственных групп и группы Пуанкаре, обладающих абелевыми инвариантными подгруппами трансляций.
2.11. Фактическое разложение приводимого представления Фактическое разложение (вполне) приводимого представления Г= {D(g)I=ZaArtXra по неприводимым — нахождение "канонического" базиса в
пространстве L, где это представление осуществляется; индекс t = 1,..., Na различает одинаковые НП, і — индекс "строчки" НП, і = 1,2,..., па;
D(g)e(;t} =YjDf \g)ejat\ (2.12)
і
D(g) — матрица НП Га , вид которой можно наперед фиксировать.
Неоднозначность канонического базиса: пусть U — любой невырожденный оператор, коммутирующий со всеми D(g); тогда е'/a^ = UeP — тоже канонический
36 базис. Вид матрицы U в каноническом базисе определяется леммой Шура: U — прямая сумма iVa-строчных блоков
ґ ЬпЁ ... ЬШЁ 4
bN іE ... bN N E
V jvCi1 JvaJva /
(2.13)
где by — произвольные числа. Как видно, в общем случае переход от одного канонического базиса к другому осуществляется невырожденными преобразованиями
4"0=?^ (2-14)
г=і
одновременно для всех к = 1,2,..., па-
При известном ex{at) остальные устанавливаются однозначно при помощи операторов "поворота":
e^^^YDnU(g)D(g)eiat\ (2.15)
8 g
В качестве Єі(а1) , е\0І) ,..., e\aNa) согласно (2.14) можно взять любые Na независимых векторов, полученных "проектированием" произвольных X є L:
e.(a) = Па^вЫ * (g)D(g)x = 5>(аМЯа°. (2.16)
g g t
При необходимости эти векторы можно ортогонализовать и нормировать.
Операторы проектирования /з(а) _ n^ V* д(а) * (g)D(g) , порождают
S g
инвариантные относительно {U} подпространства Lita^ a L, где LP — линейная оболочка {е/а1), е/а2),..„ е/шУа)}:
ait а і a
x(a) = x(a) = ^(a) = ^ P^x = P(a)X,
(2.17)
P{a)=^^iaU(g)D(g). (2.18) S g
F*a) — оператор проектирования на подпространство Z(a) = Z/a) + ... + Lna(a\ инвариантное как относительно операторов {U}, так и относительно |D(g)}.
37 2.12. Элементы групповой алгебры Матричная алгебра [Г] — линейная оболочка матриц D(g), осуществляющих представление G Г группы G. Для конечной группы [Г] = Ia1D(^1) + ... + asD(gg)}, где а! — всевозможные числа. Множество [Г] замкнуто относительно трех определенных на нем операций (сложение, умножение, умножение на число) и потому является алгеброй — частью полной матричной алгебры {Мп} соответствующего порядка. Матричная алгебра [Г] приводима или неприводима вместе с порождающим ее представлением Г.
Всевозможные матричные алгебры [Г] в случае конечных групп удобно считать матричными представлениями (отображениями, сохраняющими основные операции) абстрактной групповой алгебры [G] (группового кольца):
[G] = {*= }; [G] -» [Г], X ImD(O).
aeG
Как видно, любая функция на группе может рассматриваться как элемент групповой алгебры. Правило умножения элементов алгебры:
= z = xy = 5?а)ф)аЪ = ті(а_1с)с,
ab а с (219)
C(C) = XSOJMa-1C) = Yj^(Cb-1Mb).
а Ъ
Регулярное представление групповой алгебры: х —» Gx на [G], Gxy = ху. Двоякая роль алгебры [G] в регулярном представлении — 1) совокупность преобразований, 2) линейное пространство — поле действия этих преобразований.
Коммутаторная алгебра {А} некоторого множества матриц {L}: А є {Л}, если AL = LA для всех L є {L}. Коммутаторной алгеброй НП Г (и алгебры [Г]) согласно лемме Шура является множество XE, где X — любое число.
Полная приводимость регулярного представления G означает разложимость алгебры [G] на подпространства В, инвариантные относительно умножения на элементы алгебры (Ь є В, если для любого Jt є [G] xb є В, В — "левый идеал" алгебры [G]). Процесс расщепления обрывается на "минимальных" идеалах, соответствующих НП [G]:
[G] =Bi®...®Bf. (2.20)
Согласно (2.20) любой элемент алгебры х = х\ + ... + х/, Xi є Bi, в том числе
e = ei+...+ ef. (2.21)
38 Производящие идемпотенты. Xei = Xi, е,е7- = еДу, bet = Ъ (Ьє В); еі,...,е/ — взаимно нормальные примитивные идемпотенты (не допускают дальнейшего разложения).
Центр алгебры Z: z є Z, если zx = xz для любого х є [G]. Центр, как функция классов сопряженных элементов:
g є G, Z = It;(a)a = gzg1 = lC,(a)gag~l = Z^(g~lag)a, C,(a) = C,(gag~l) = CJJ),
