Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
Ф(Хх,у) + Ф(х,Ху) = 0, образуют алгебру Ли L. Если форма Ф симметрическая, то L называется ортогональной алгеброй JIu о(т,С) (Bn при т = 2п+\, Dn при т = 2п). Если Ф — кососимметрическая форма и т = 2п, то L — симплектическая алгебра sp(n, С) (или Cn). An, Bn, Cn, Dn — классические комплексные алгебры Ли.
59 Комплексное расширение Vc вещественного векторного пространства V. множество всех элементов вида Z = X + iy, X, у є V. Овеществление комплексного пространства Vc с базисом е\,...,еп: вещественное пространство с базисом е\,..., еп, іе\, ..., ien; z = zkek = (Re zk)ek + (Im zk)(ieu).
Представление алгебры L в линейном пространстве H — гомоморфизм X —» D(X) на множество линейных операторов в Н, так, что
аХ+ ?y —» aD(X) + ?D(7), [X, У] D(X)D(Y) - D(Y)D(X).
Теорема Ado. Всякая алгебра Ли над полем комплексных чисел изоморфна некоторой матричной алгебре. Это значит, что всякую абстрактную алгебру Ли можно рассматривать как подалгебру полной линейной алгебры gl(п, С).
Подалгебра N a L называется идеалом, если множество произведений [L, N] принадлежит N. Алгебра Ли L проста, если она не имеет нетривиальных идеалов (отличных от{0} и L) и [L, L] Ф 0. Четыре последовательности An, п > 1; Bn, п> 2; Cn, п > 3; Dn, п > 4 и пять так называемых исключительных алгебр (G2, F4, Ев, Ej, Eg) составляют все неизоморфные простые комплексные алгебры Ли.
С каждой простой комплексной алгеброй Ли связывается последовательность простых вещественных алгебр Ли. Укажем некоторые классические простые вещественные алгебры Ли:
• su(n) — алгебра всех косоэрмитовых матриц порядка п со следом 0.
• so(п) — алгебра Ли всех вещественных кососимметрических матриц порядка п.
• so(p,q) — алгебра Ли вещественных матриц порядка p+q вида
Ґ X1 X2 Xt X '
где Х\, Хз — кососимметрические матрицы порядка р и q соответственно, X2 — произвольно.
Между алгебрами Ли существуют изоморфизмы (перечисление см. Барут и Рончка, 1980). В этой главе установлен изоморфизм su(2) ос so(3). При рассмотрении группы Лоренца познакомимся с изоморфизмом sl(2,Q ос so(3,l).
60 Группы преобразований G можно рассматривать как поверхности в N-мерном пространстве, при этом касательные пространства в единице группы отождествляются с алгебрами Ли g. Касательные пространства составляются из векторов, касательных к любым кривым A(t) є G, проходящим через единицу [А(0) = е], т.е., векторов A(t)\ l=0,
называемых еще векторами скорости. Рассмотрим ниже некоторые примеры.
Полная линейная группа GL(n,R) — область в п -мерном линейном пространстве M («,/?) вещественных матриц и-го порядка (область — открытое множество, вместе с любой точкой пространства включает все достаточно близкие к ней точки). Евклидова метрика в M(n,R) определяется так: если А = (а/), то
\А\2 = Tij\a/\2=Sp(AA)
2 И-
(комплексным аналогом является метрика \А\ = Sp(/4 А)). Окрестность единицы определим как множество матриц А, для которых \А - Е\ < 1. Пусть X — любая матрица из М(и,/?). Кривая A(t) =E + tXпри малых t принадлежит окрестности единицы и лежит в GL(n,R). При этом A(O) = Е, ДО) = X, т.е., касательное пространство совпадает с полной алгеброй M(n,R), являющейся алгеброй Ли gl(n,R) относительно коммутаторов матриц.
Группа SL(«,/?) задается одним уравнением detA = 1 и представляет собой гиперповерхность в M(n,R), целиком лежащую в области GL(n,R). В окрестности единицы
—det (Е + tX) 11_0 = SpX = 0, dt
и касательное пространство в единице совпадает с совокупностью всех матриц со следом 0. Размерность его равна и —1 и совпадает с размерностью гиперповерхности.
Группа О (n,R) задается системой п(п+1)/2 уравнений ^alkaJk = б'"' (или AA=E).
к
Касательные векторы в единице удовлетворяют условию — (AA)It=0 =X+ X = O, т.е.,
dt
касательное пространство совпадает с пространством всех кососимметрических матриц, также являющихся алгеброй Ли по отношению к коммутированию.
Экспоненциальное отображение алгебр Ли на соответствующую группу Ли: Если Xeg [gl(n,R), о(п), и(п) и т.п.], то ехрХ є G [GL(rc,7?), О(и), U(«) и т.п.]. В некоторой окрестности начала координат g (единицы группы G) это отображение взаимно однозначно. В некоторых случаях [например, GL(«,Q] экспоненциальное
61 отображение покрывает всю группу. В целом же отображение X—» ехрХможет не быть взаимно-однозначным и даже не покрывать всю группу [например, GL(«,i?)].
Задачи к разделу 3
1. Убедиться в том, что следующие пары функций преобразуются согласно НП Coov : X, у; XZ, yz; х2-у2, ху.
2. Найти НП группы Dooh-
3. Убедиться в том, что вращение с углами Эйлера (тг-фг, 0, я-фі) обратно вращению (фь 0 ,Фг).
4. Рассчитать инвариантную плотность для R3 через углы Эйлера.
5. Разложить произвольную функцию ?x,y,z) по неприводимым функциям группы вращений.
6. Что представляет собой сечение пространства группы SU(2) трехмерной гиперплоскостью Ьг = 0; а\ = конст.? Рассмотреть последовательность сечений гиперплоскостями а\ =с при 0 < с < 1, сравнить результат с пространством группы R3.
