Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
[[d(1)2]x[d(1)2]] = [(D(2) + Dan)2] = [f)(2)2] + f)(2) + d(0) = d(4) + 2D(2) +2 d(0). Здесь мы использовали также соотношение
[ГР2] = D(2J) + D(2j-2) + Daj^ +...,
которое можно получить, например, рассматривая симметрию соответствующих коэффициентов Клебша-Гордона. Таким образом, существует два независимых инвариантных относительно всех вращений (в том числе и несобственных) тензора. Базисные тензоры четвертого ранга:
Є; Cj Ck Є; = Qij QkI = Cijkl Симметричные тензоры второго ранга, расщепленные как D(2) + D(0):
Cxx + Cyy + Czz ,
(2 Czz — Cxx ~ Cyy)/л/з, Cxx ~ ^yyi ^xy Сух , Cxz "I" Czx, Cyz CZy
Изотропные тензоры X:
1) (Єхх + Cyy "Ь Czz) (Єхх + Cyy "Ь Czz) Єхххх Cyyyy "Ь Czzzz Cxxyy Cyyxx Czzxx Cxxzz Cyyzz Czzyy , 2) (1/3)(2 ezz -Cxx- Cyy)(2 Czz -Cxx- Cyy) + (Cxx - CyyXcxx - Cyy) +(Cxy + CyxXCxy + Сух) +... = (4/3Xgxxxx- Cyyyy "Ь ezzzz) - (2/3)(Cxxyy + Cyyxx + Czzxx + Cxxzz Cyyzz + Czzyy) "Ь (Cxyxy + Cyxxy Cxyyx Cyxyx Cxzxz "Ь CXZZx +Czxxz "Ь Czxzx "Ь Cyzyz +Czyyz "Ь Cyzzy "Ь Czyzy).
65 С понижением симметрии число инвариантов (или независимых компонент тензора) возрастает. Например, для кубических систем появляется еще один инвариант, поскольку D^ содержит единичное представление группы Oh- Инвариантный полином несложно найти проектированием:
/yiU (35z4 - 30zV + 3г4 ) = Zge0h D(g) Paq ~ jt4 +/ + z4 - (3/5)r4 Проектируемый полином инвариантен относительно подгруппы D^ с осью четвертого порядка вдоль z, и удобно при суммировании по группе расположить элементы в порядке, соответствующем разбиению на смежные классы по подгруппе:
Oh = U4h + Сз U4h + Сз2 U4h
Инвариантному полиному соответствует полностью симметричный тензор:
!(Єхххх + Єуууу + ®zzzz) — (^xxyy + Єуухх + &ZZXX + &XXZZ + Gyyzz + @zzyy) ~ (^xyxy + Єухху + Єхуух + Єухух +
&XZXZ + &XZZX +®zxxz + &ZXZX + ^yzyz +^zyyz + ^yzzy + ^zyzy) і
ортогональный полученным выше изотропным тензорам. В качестве трех независимых кубически-инвариантных тензоров можно также выбрать следующие более простые:
&ХХХХ + ^УУУУ + ®ZZZZ! ®Д~хуу + &XXZZ + Єуухх + ^yyzz + ®ZZXX + ^zzyyi Єхуху + Єухху + Єхуух + Єухух + &XZXZ + ®zxcz
+ Zxzzx + Zzxzx + Zyzyz + ^zyyz + ^yzzy + Qzyzy, однако в них не выделены изотропные части.
4.2. Нормальные колебания симметричных молекул
Рассмотрим малые колебания механических систем (молекул), состоящих из п частиц (атомов). Геометрия молекулы в каждый момент времени характеризуется вектором р в Зп-мерном "пространстве смещений" — совокупностью смещений всех атомов из положений равновесия: р = (гі,г2,...,г„). Естественные координаты системы — совокупность декартовых компонент смещений Г(, соответствующий базис (Xi,7i,Zi,...), так что
п
P = +УіГі + ziZi) ~ HXiaXia-
г=1 ia
Здесь а = 1,2,3 соответствуют x,y,z - координатам. При преобразованиях симметрии молекулы смещение р переходит в некоторое другое возможное смещение той же молекулы, р' = D{g)р. В (ортогональном) представлении Г, g —> Dig), выделяются инвариантные части, соответствующие поступательному и вращательному движению молекулы, так что Г = Гпост + Гвр + Гкол. Энергия системы
66 H=T + V = і ХК-4 = + (4.4)
где T и V — симметричные операторы, соответствующие положительно-
определенным квадратичным формам T и V. Невырожденным линейным преобразованием
4l=Y.ClMXia (4-5)
ia
H приводится к диагональному виду
н= i2>/2(4.6) і
Здесь qi — нормальные координаты. Движение системы, при котором отлична от нуля только координата qi, называется нормальным колебанием с собственной частотой со/. Если к частоте со относятся г разных колебаний, она называется r-кратной частотой, а соответствующие колебания вырожденными.
Преобразование (4.5) в общем случае (если не все массы одинаковы)
неортогонально, но преобразование от приведенных координат х\а = Xia-yJmJ к qi
ортогонально, ибо оно сохраняет квадратичную форму . Если задать скалярное
ia
произведение соотношением (Xіia, X'?) = 0,'cy?, то T= 1, a Q/ - собственный вектор оператора V, относящийся к собственному значению со/ .
Три вектора, описывающие смещение молекулы как целой вдоль направлений X,y,z: 2а(пОСт) ~ Хг Xia. ОрТОГОНЭЛЬНОСТЬ вектора смещения P = JjCiaXia векторам Qa означает, что при таком смещении центр тяжести молекулы остается на месте: (p,Qa) ~ ИіЩХіа = 0. Вектор смещения, соответствующий вращению молекулы около направления П на (малый) угол ІПІ : Q ~ Ег[ПхЫг], где радиус-вектор Ri- определяет равновесное положение /-го атома относительно центра вращения, который целесообразно совместить с центром тяжести молекулы. Ортогональность (p,Q(Q)) = X/w,{r,{QxR,-]) = (fi-Zw/fr/xR,]) = 0 означает, что при смещении р не возникает момент импульса молекулы.
Молекулу со смещением р'= D(g) р можно рассматривать как результат поворота g всей молекулы с исходным смещением р. Это действие эквивалентно изменению
67 системы координат и не вызывает изменения энергии системы, так что (p,Vp) = (p',Vp'), и
D(S)VDig-1) = V. (4.7)
Отсюда вытекает соотношение
