Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
%^ (ф) = sin(/ + і)ф / sin і ф. (3.15)
Неприводимые представления группы вращений целого порядка могут быть реализованы на сферических функциях: линейная оболочка сферических функций /-го порядка,
I2Ylm = 1(1 + \)Ylm, Ylm(Q, ф) = ^е-<Р0/м(Є), в/>>| =(-1Г©/Н,
/^(^siny^(cose) 1 jV-ІУ (ЗЛ6)
lm І 2 (l + m)\ J(cosВ)т 2 /! dx1
инвариантна относительно вращений. Здесь / — угловая часть оператора Лапласа. Матрица поворота на угол в в базисе Yim.
D(OOs)Ylm = Ylm (0, ф - в) = e~im%m, Dmm, (OOe) = e~im&bmm,.
45 Как видно, рассматриваемое представление есть НП веса /, т.е., любое НП целого веса фактически может быть реализовано на сферических функциях, которые при выбранных в (3.16) знаках и образуют канонический базис НП.
Здесь мы воспользовались следующим определением преобразования функций при изменении аргумента (ср. раздел 4):
D(g)f(r) = f(g~lr).
Рассмотрим поворот на бесконечно малый угол со = I со I, где вектор со направлен вдоль оси поворота. Функция flr) претерпевает бесконечно малое изменение:
D(mr) =Ar-юхг) =Ar) - (СoxryVAr) = [1- (O-CrxV)Hr).
Таким образом, инфинитезимальные операторы представления группы вращений на пространстве функций имеют вид:
д д
у--Z —
dz ду
J= -i(rxV), Jx = - і
\
При j полуцелом Z)^(0,0,27t) = —Е; но поворот на угол 2% эквивалентен тождественному элементу, и, таким образом, нарушается требование однозначности отображения g —» D®(g). Можно несколько расширить понятие представлений и рассматривать указанные отображения при полуцелых j как двузначные представления. Представление веса 1/2:
?>(1/2)(ф10ф2) = ехр
і fl On і Го -і) 0 і f 1 On
-- ,о -К Фі exp -- J 0, exp -- ,о -К Ф2
2 2 2
ґ
0
cos—е 2
¦ Ф1+Ф2 2
Ф1-Ф2
. 0
-sm — е 2
. 0 2 sm — е z V 2
0 ' 2 cos—е 1
2
¦ Ф1-Ф2 2
Ф1+Ф2
(3.17)
Матрица ?>(1/2)є SU(2), причем любая матрица группы SU(2) может быть представлена в форме (3.17) и таким образом сопоставлена с некоторым вращением. Рассмотрим подробнее связь групп R3 и SU(2).
3.4. Гомоморфизм двумерной унитарной унимодулярной группы
на группу вращений
Произвольный элемент группы SU(2) записывается в виде:
а ? 4 — ? * а *
W(a,?) =
I |2
а +
= 1.
(3.18)
46 Произвольная эрмитова матрица с нулевым следом имеет вид: h =
f Z x — iyЛ
X+ iy -Z
= xax+yay+zaz, deth = -(х2 + у2 + Z2 ), (3.19)
/
x,y,z вещественны, CT; — матрицы Паули. Матрица h' = uhu также эрмитова, обладает
9 9 9
нулевым следом, det h' = -(х +у' +z' ) = det h, а матричные элементы x',y',z' линейно зависят от x,y,z, г' = R(u)r. Поскольку матрица R(u) осуществляет преобразование вещественных векторов (x,y,z) с сохранением квадратичной формы, она является ортогональной матрицей, det R(u) = +1, так как detA(w) является непрерывной функцией аргументов a,?, любое значение (a,?) может быть достигнуто непрерывным движением от единичного элемента, а detA(e)=l. Я(щщ) = R(u\)R(u-2). Множество {/?(и)| охватывает не часть, а всю группу вращений. Проще всего это установить, рассматривая матрицы щ(ещ/2,0) и w2(cos(0/2),-sin(0/2)). R(u\) = /?(0,0,ф), /?(и2) = 7?(О,0,О), а согласно (3.2) любой поворот может быть скомбинирован из вращений около осей Z и у.
Связь между НП унитарной группы и группы вращений: 1) все НП R3 являются НП SU(2); 2) D\-e) = Е, D(-e) = XE (лемма Шура), т.е., D(-e) = ±Е ["четные" и "нечетные" НП SU(2)]. Четные НП SU(2) оказываются собственными НП R3, а нечетные — двузначными НП.
Если рассматривать элементы SU(2) и R3, соседние с единичным (инфинитезимальные группы), то между ними можно установить взаимнооднозначное соответствие (изоморфизм). Но свойства инфинитезимальных операторов представлений (эрмитовость, соотношения коммутации) вполне определяются свойствами группы вблизи единичного элемента. Это означает, что построения пункта 3.3 дают полный набор инфинитезимальных матриц НП SU(2).
Установим связь между пространствами групп SU(2) и R3. Пусть а = а і + -? = b\ + іЬг, тогда а\ + а2 + b\ + 62 =1, т.е., пространство SU(2) — поверхность четырехмерной сферы радиуса 1, причем диаметрально противоположные точки сферы соответствуют противоположным по знаку матрицам и, единичному элементу отвечает точка (1000). Пространство R3 получится, если взять полусферу а\ > 0 и отождествить диаметрально противоположные точки разреза. Классам сопряженных элементов SU(2) отвечают в пространстве группы сечения гиперплоскостями а і = const (задача 6). Вместо зависимых параметров (aia26io2) удобно ввести параметры (а0ф):
47 O1 =cos—, a9 =sin—coso, Ъл = sin—sin 0 sin ш, b9 = sin—sinOcoso 1 2 2 2 1 2 2 2 (3.20)
(0 < а < 2к, 0<q<k, 0 < ф < 2k), в которых легко узнать параметры группы вращений, только расширен предел изменения а . Инвариантная плотность в этих параметрах дается соотношением (3.8).
3.5. Произведения НП группы вращений (или SU(2)) и их разложение
Пусть Dw, Dqi - НП с каноническими базисами естественный базис для
произведения D®X-D^ ^ — {e„fm}. Выразим инфинитезимальные операторы Jk D^x D^"' через инфинитезимальные операторы перемножаемых представлений, используя (3.9):
