Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
откуда
Z = ^mi, K,=an +an+.. + aim;, (2.22)
І
(?} — базис центра. В частности,
KiKj =YjC(Ijk)Kk. (2.8)
к
Взаимосвязь групповой алгебры и коммутаторной алгебры {U} произвольного
представления Г: прообраз Р-а) є [Г] в [G] , = —Yd^ *(g)g, является
g
производящим идемпотентом типа введенных равенством (2.21), он порождает минимальный идеал [Di^ (.)} (задача 29).
Задачи к разделу 2
1. Пусть {а1} — бесконечная циклическая группа. Показать, что отображение г\ п^
и
a
v0 1
является представлением. Является ли это представление вполне
приводимым?
2. Пусть H — инвариантная подгруппа G, h —> d(h) — некоторое ее представление. Убедиться, что отображение h dg(h) = d(ghgA), g є G также является представлением Н. Доказать, что совокупность элементов g, для которых dg ос d, образует подгруппу.
3. Найти все НП циклической группы порядка п.
4. Пусть g D(g) — приводимое представление, действующее в пространстве L, а Li сі L — инвариантное подпространство, преобразующееся по НП П. Доказать, что если некоторый оператор В коммутирует со всеми операторами D(g), то подпространство, состоящее из векторов Bxі, Xi є Li, инвариантно и преобразуется по Гь
39 5. Пусть унитарные НП D\(g) и D2(g) эквивалентны: D\(g) = AD2(g)A \ Доказать, что оператор A/(detA)Vn — унитарный, п — размерность НП.
6. Доказать, что произведение НП на одномерное представление неприводимо.
7. Пусть Гі, T2, Г3 — НП группы G. Доказать, что кратности, с которыми Гі* содержится в Г2ХГ3, Г2* содержится в ГіхГ3 и Г3* содержится в Г1ХГ2, равны между собой.
8. Доказать, что произведение двух НП размерности щ и щ, щ > щ, не могут содержать представления размерности меньшей, чем п\/п2.
9. Доказать, что если каждый элемент группы сопряжен своему обратному, то каждое представление группы сопряжено самому себе.
10. Пусть Ki- — класс сопряженных элементов, обратных элементам класса Ki. Показать,
что для произвольных НП Гц и rv имеют место равенства: ^Y т^Р j}^ = gS^y.
11. Показать, что для НП конечных групп имеют место соотношения (Фробениуса-
8 0, если D(g) и D * (g) неэквивалентны.
12. Доказать, что прямым умножением НП конечной группы G на НП конечной группы G' можно получить все НП группы GxG'.
14. Если = %г, то представления Г и Г' эквивалентны. Доказать.
15. Вычислить [%r3(g)] и lxr3(g)}.
16. Пусть Г = Гі + Г2. Разложить на части Г2, [Г2], {Г2}, [Г3], {Г3}.
17. Показать, что неприводимая матричная алгебра [Га] совпадает с полной алгеброй матриц порядка па.
18. Что представляет собой коммутаторная алгебра матричной алгебры [Г], если а) Г = Га + Гр, б) Г = 2Га (Га и Гр — неэквивалентные НП)? Описать коммутаторную алгебру в случае, если Га — одномерное представление.
19. Составить регулярное представление алгебры [Га] при па = 2.
20. Какая связь существует между регулярным представлением группы и регулярным представлением групповой алгебры?
Шура):
1, если D(g) вещественное если D(g) псевдовещественное
13. Вычислить YDla)(g)-
8
40 21.Пусть [а] — алгебра с единицей (например, [Г]). Доказать, что единственными линейными преобразованиями на [а], коммутирующими со всеми преобразованиями Ax = ах, а є [а], являются преобразования вида В'х = xb.
22. Написать матрицу преобразования В' из предыдущей задачи для алгебры [Га] спа= 2.
23. Рассмотрим следующее взаимно-однозначное отображение пространства [G] на себя: je = ТЛ,(а)а X = Yfc?cTl)a. Пусть z = ху. Показать, что Z = ух. Как выглядит рассматриваемое отображение для элементов группы G?
24. Пусть В = {Ь} — левый идеал алгебры [G], Проверить, что {b} = В является правым идеалом.
25. Является ли центр группового кольца его идеалом?
26. Доказать, что 5X4°° * (g)D^\r) = g8(g,r).
aij
27. Написать составные характеры СзУ , исходя из характеров НП Сз.
28. Найти орбиты группы Сз относительно группы СзУ.
29. Проверить идемпотентность элемента D^i Q є [G]. Доказать, что он порождает левый идеал {D^ (.)}.
41 3. Группа вращений
3.1. Одноосные вращения
Группа C00 — непрерывная абелева однопараметрическая компактная группа. Пространство параметров — отрезок (кольцо) (-л, 7t). Инвариантный интеграл по группе if— однозначная функция на группе, т.е., периодическая функция от ср):
Непрерывные однозначные представления: х(ф)х(ф') = %(ф + ф')- Дифференцируем по ф' и полагаем затем ф' = 0: х'(ф) = х(ф)А, A = d%/d(p | ф = 0 — инфинитезимальный оператор представления (для НП — число). Для "унитарных" однозначных НП А = im, т — целое число. При т нецелых возникают т.н. многозначные представления (ідвузначные при т полуцелых и т.д.).
Группа Coov (°с D00) — смешанная непрерывная группа. Пространство группы — два отрезка (-л, 7t). Один из них (обозначим индексом +) соответствует элементам подгруппы C00, а другой (-) элементам смежного класса CtvC00, где Ctv — любое из отражений. Классы сопряженных элементов: Е, С(+ф), ст. НП Coov одно- и двумерны: операция Ctv объединяет два НП C00, и = т Jt 0, в одно НП, D(m) с
