Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
1.9. Точечные группы симметрии
Элементами точечной симметрии могут быть ось симметрии, плоскость симметрии, центр симметрии. Порядок оси — наибольший из порядков поворотов, совершаемых около этой оси. Зеркальный поворот — комбинация поворота с отражением в плоскости, перпендикулярной оси поворота: 5*(ф) = С(ф)а/, = а/,С(ф). Отражение в плоскости и инверсия являются частными случаями зеркальных поворотов: 5*1 = а/,, 5*2 = Сгст/, = I. Отметим, что произведение двух зеркальных поворотов является чистым поворотом, произведение зеркального поворота на поворот является зеркальным поворотом. В частности, Ctvctv' = С(2ф) — поворот около линии пересечения плоскостей v' и v, ф — угол между плоскостями, отсчитываемый от плоскости v'. Отсюда можно получить и результат умножения поворота на отражение в плоскости, проходящей через ось поворота: ctv = С(2ф)сту'. Кроме того, ауС(ф)ау = С(-ф), с примером такого соотношения мы уже сталкивались при рассмотрении группы Сзу. Когда повороты около оси на противоположные углы сопряжены друг другу, ось называют двусторонней.
Перечислим возможные точечные группы симметрии: 1. Циклические группы Cn (в пределе C00); объекты с такой симметрией обладают лишь одной осью п-то порядка.
22 2. Циклические группы S2n (зеркально-поворотная ось четного порядка). Частный случай — группа инверсии S2 (другое обозначение: Q).
3. Абелевы группы Cnh = CnxCs. Элементы симметрии — ось и-го порядка, плоскость отражения, а при п четном и центр симметрии. При п нечетном группа циклическая, с образующей Sn = CnOh- Частный случай Cih= Cs.
4. Группы симметрии правильных п-угольных пирамид Cnv. Элементы симметрии — ось п-то порядка и п плоскостей, проходящих через ось и отстоящих друг от друга на углы, кратные п/п. При п > 2 группа неабелева; каждая пара взаимно-обратных поворотов образует класс сопряженных элементов; при нечетном п все отражения входят в один класс, а при п четном они разбиваются на два класса по п/2 отражений в плоскостях, связанных друг с другом поворотами Cn .
5. Группы Dn содержат в дополнение к группе Cn повороты на 180° около п осей второго порядка, перпендикулярных к "главной" оси и расположенных под углами п/п друг к другу. Группы Dn и Cnv изоморфны.
6. Группы симметрии правильных п-угольных призм Dnh = DnxCih- Элементы симметрии — ось п-то порядка, п перпендикулярных ей осей второго порядка, п плоскостей отражения, проходящих через главную ось и одну из осей второго порядка, плоскость отражения, содержащая оси второго порядка, при п четном имеется также центр симметрии. Число классов сопряженных элементов вдвое больше, чем в группе Dn.
7. Группы Dnd получаются в результате добавления к осям симметрии группы Dn п плоскостей, проходящих через главную ось и биссектрисы углов между соседними осями второго порядка. Нетрудно убедиться в том, что произведение отражения в плоскости и поворота на угол п около оси, расположенной под углом ср к плоскости есть зеркальный поворот на угол 2ср около главной оси (см. задачу 41). Таким образом, элементы симметрии здесь такие: зеркально-поворотная ось 2п-го порядка, п эквивалентных друг другу (вне зависимости от четности п) осей второго порядка, п эквивалентных плоскостей, а при п нечетном еще и центр симметрии. Симметрией Dnd обладает, например, фигура, полученная из двух одинаковых правильных п— угольных призм, сложенных основаниями, поворотом одной из них около общей оси на угол п/п.
8. Группы симметрии правильных многогранников — тетраэдра (Т, Td), октаэдра (куба) (0,0h = OxCi), икосаэдра (додекаэдра) (Y5Yh = YxCi). Группы T,0,Y содержат только
23 поворотные элементы. Укажем классы сопряженных элементов некоторых из групп (число элементов класса и типичный элемент): T(Е, 4Сз, 4Сз , ЗС2), Td(E, 8С3, ЗС2, 6S4, 6стД О(Е, 8С3, ЗС42, 6С4, 6С2), Оь(Е, SCj2, ЗС42, 6С4, 6С2, I, 8?, Зад, 6S4, 6aJ). Отметим, что оси третьего порядка в группе T односторонние, а в группе Td двусторонние из-за наличия отражений в плоскостях, проходящих через эти оси. Группы Td и О изоморфны. В кристаллографии приходится встречаться еще с группой Th= TxQ.
Число точечных кристаллографических групп ограничено 32-мя (см. раздел 6). Это всевозможные подгруппы групп Oh и U6h, и их таблицы умножения, таким образом, содержатся в таблицах умножения групп Oh и U6h, приведенных в приложениях.
Для точечных кристаллографических групп (которые содержат повороты только второго, третьего, четвертого и шестого порядков) часто используются международные обозначения, в которых вначале указываются порядки главных осей поворотов (ось Z), при этом инверсионно-поворотная ось обозначается чертой над цифрой; наличие плоскости отражения, перпендикулярной оси, при необходимости отмечается символом /т рядом с обозначением оси. Другие оси и плоскости указываются на втором и третьем местах (если имеется несколько эквивалентных осей или плоскостей, то указывается лишь одна из них). Примеры международных обозначений: Cn= n, Q = 1, Cs= т, С2h = 2/т, D2 = 222, C2V = тт2, U2h = ттт, C4h = Л/т, S4 = Л, D4 = 422, U2d 4 2///. C4v = 4mm, U4h=4/mww, Сз;= S6 = 3, Сзь = S3 = 6, O3d = 3 т, U3h = 62 т, T = 23, Th = тЗ, О = 432, Td = 4 Зт, Oh = тЗт. Из различных возможных обозначений (например, 6 и З/т для Сзь) выбираются наиболее простые. В кубических системах за ось Z выбирается одна из трех взаимно-перпендикулярных осей симметрии четвертого (для тетраэдров второго) порядка.
