Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
1.10. Некоторые дополнительные сведения
Приведем определения некоторых важных понятий теории групп, сравнительно редко встречающихся в физической литературе.
• Полугруппа — множество, замкнутое относительно умножения, удовлетворяющего лишь условию ассоциативности.
• Центр группы {z} = Z a G — множество элементов, коммутирующих со всеми элементами группы: zg = gz. Центр — абелева инвариантная подгруппа.
24 Нормализатор подмножества McG - совокупность элементов а є G, которые удовлетворяют соотношению аМ = Ma.
р-группа — группа порядка рк, где р — простое, к — любое целое число. Аналогично определяются (р,q)-, (p,q,r)-rpynuu. Так, Р5 — (2,3,5)-группа. Коммутатор элементов группы а и b: [a,b\ = а~
Коммутант группы — подгруппа Gt G, порожденная всеми коммутаторами. Так, Сз — коммутант C3v. Если G' = G, то G — совершенная группа.
Группа G называется разрешимой, если ее производный ряд G zd G' zd (G')'zd... завершается ("стабилизируется") подгруппой е.
Нормальный ряд группы — последовательность подгрупп G z> N\ zd N2 —е, в которой каждый член является нетривиальным нормальным делителем предыдущего. Группа оказывается разрешимой при наличии у нее нормального ряда, у которого все фактор-группы N/Ni+i абелевы.
Группа G преобразований некоторого множества Q называется транзитивной, если для любых a,? є Q найдется элемент ge G такой, что ga = ?.
Свободная группа ранга г — порождена множеством г элементов, не связанных никакими определяющими соотношениями.
Группа G является полупрямым произведением подгрупп А и В, G = AB, если любой элемент группы может быть представлен в виде g = ab, а є A, be В, А{~]В = е, А — инвариантная подгруппа G. Группа В (~ G/A) изоморфна подгруппе автоморфизмов А: Ъ ЬАЬ~1. Полупрямыми произведениями являются евклидова группа, группа Пуанкаре (в них А — подгруппа трансляций).
Сплетение группы А с помощью группы В (порядка п), AaB, — полупрямое произведение групп An = АхАх...хА и В, причем действие элементов В на элементы
fX 2 ... п^
An определяется по правилу Ь(а\,а2,...,ап)Ь 1 = (а\-,а2-,...а„), где перестановка, соответствующая Ъ по теореме Кэли.
vl- 2' ... п\
Пусть G непрерывная r-параметрическая группа: g(p\, ...,pr) = gip)є G, IjKp)]1 = g(p% g(a)g(b) = g(c), p' = p'ip), с = c(a,b). Если p' и с — аналитические функции своих аргументов, то G — r-параметрическая группа JIu.
Существует исчерпывающий список конечных простых групп, включающий знакопеременные группы степени не меньше 5, группы типа Ли и 26 так называемых
25 спорадических групп (Горенстейи, 1985). Группы типа Ли являются аналогами над конечными полями комплексных групп Ли. Классификационная теорема гласит: Если G — конечная простая группа, то она изоморфна одной из простых групп указанного списка.
Задачи к разделу 1
Образуют ли группу следующие множества матриц, если в качестве группового умножения взять обычное умножение матриц? Л. - - N Ґ- „ 0\
О О,
а)
«и
О О
«12 «13 «22 «23 «33
О
,YlaJj Ь)
«11 «12 «21 «22 О о
' «11«22 — «12«21 * О» с)
О
1«21
«12 О
2. Показать, что (ab)~1 = b~la~l.
3. Доказать, что пересечение любого числа подгрупп — подгруппа.
4. Доказать, что все элементы группы, перестановочные с данным элементом а (нормализатор а), образуют подгруппу.
5. Пусть все неединичные элементы группы имеют порядки, равные 2. Доказать, что группа абелева.
6. Пусть а — элемент конечной группы порядка п. Вычислить а".
7. Доказать, что всякая бесконечная группа имеет бесконечное множество подгрупп.
8. Доказать, что если Ъ є аН, то ЬН = аН (Н— подгруппа).
9. Доказать, что элементы ху и ух сопряжены.
10. Доказать, что число элементов в классе сопряженных с а элементов равно п/т, где п — порядок группы, т — порядок нормализатора а.
11. Доказать, что в любой группе подгруппа индекса 2 является нормальным делителем.
12. Доказать, что центр группы является инвариантной подгруппой.
13. Могут ли абелевы группы быть простыми?
14. Показать, что инвариантная подгруппа содержит вместе с элементом а весь класс сопряженных а элементов.
15. Пусть порядок конечной группы делится на простое число р. Доказать, что в группе имеются элементы порядка р.
16. Привести примеры автоморфизмов, отличных от а —» bab~l.
26 17. Доказать, что если существуют гомоморфизмы G —> G* и G* —> G**, то существует гомоморфизм G —» G**.
18. Доказать, что все гомоморфизмы простой группы, за исключением G —> е*, являются изоморфизмами.
19. Доказать, что отображение а •<-» а-1 является автоморфизмом тогда и только тогда, когда группа коммутативна.
20. Доказать, что фактор-группа G/Z некоммутативной группы G по ее центру является нециклической.
21. Может ли прямое произведение нетривиальных групп (V е) быть простой группой?
22. Доказать, что прямое произведение двух конечных циклических групп со взаимно-простыми порядками является циклической группой.
23. Выяснить возможные структуры групп восьмого порядка.
24. Показать, что всякую перестановку можно представить в виде произведения транспозиций.
