Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
V
о дг »(г).
л/2
iE E
¦D2(g) Ate),
где E — единичная матрица порядка размерности Г.
Представление, сопряженное Г: r,g —» D1 (g~') . Для унитарных представлений Г* = Г.
2.7. Прямое произведение представлений группы Прямое произведение пространств Ln х Lm определяется как линейная оболочка множества билинейных комбинаций {ху}, где х є Ln, у є Lm. Если {ег},{//} — базисы Ln и Lm, соответственно, то произвольный элемент z є Ln х Lm однозначно может быть представлен в виде z = й,уе?, т.е., множество пар {eifj} служит естественным базисом в произведении пространств, размерность которого оказывается равной произведению размерностей сомножителей, dim LnX Lm = пт. Прямое произведение операторов А и В, действующих в Ln и Lm, соответственно, определяется как линейный оператор на Ln х Lm, причем (А х В)ху = (Ax)(By). Матрица Ax В в базисе {ejfj} является "прямым произведением" матриц А и В в базисах {е,} и {fj}, соответственно:
(AxB)irjj = AviBjj.
33 Если Ln и Lm — унитарны (в них определены скалярные произведения), то скалярное произведение в Lnx-Lm определяется условиями (ху, x'yr) = (XtXr)^yr) и линейности (антилинейности) по аргументам. Тогда, если {ег} и {fj} — ортонормированные базисы, то {efj} — ортонормированный базис в LnxLm.
Прямое произведение представлений группы Fi, g —» D\(g) и Г2, g —» Diig)'. Г1ХГ2, g —> D\(g)xDi(g)- Если Г] и Гг - унитарны, то Г1ХГ2 также унитарное представление. Характер прямого произведения представлений:
Xrixrefe) = Xv\{g)lT2{g). (2.6)
Понятие прямого произведения очевидным образом обобщается на любое число сомножителей. В частности, каждое представление порождает тензорное представление любого ранга г в соответствующем пространстве: ГхГх...хГ (г раз). Тензорное пространство (ранга г) распадается в сумму подпространств, обладающих определенной симметрией относительно перестановок (r-ой степени), инвариантных относительно тензорного представления.
Например, тензор второго ранга является суммой симметричного и антисимметричного тензоров; соответственно, квадрат представления Г приводится к сумме симметризованного и антисимметризованного квадратов:
ГхГ = Г2=[Г2] + {Г2}.
Если Ln — пространство действия представления Г, g —» D(g), с базисом {ег}, то пространством действия представления Г2, g D(g)xD(g) служит Lnl^xLn2"1 с базисом {еРеР). Базисом подпространства симметричных тензоров служит набор п(п+1)/2 векторов {еРеР + е}%Р}, а базисом для антисимметричных тензоров — набор п(п— 1)/2 векторов {е/^е/2^- еРеР}. Простые расчеты приводят к следующим характерам:
x[r2^[xr(g)] = ^xks) + ixr(g2), {Xr(g)} = ^Xr(g)-iXr(g2)- (2.7)
2.8. Представления прямого произведения групп
Построение представлений прямого произведения групп по представлениям перемножаемых групп: пусть G^T, D(g) в Ln, G' —» Г', D1(^gr) в Lm; тогда GxG' —» ГхГ', (Ciar) —> D(O)XDXar) в LnxLm. Характер %гхг(ааг) = Хт(а)Хт'(аГ)- Если Г и Г' — НП, то ГхГ' — НП группы GxG'. Для конечных групп это следует из критерия неприводимости.
34 2.9. Метод Бете вычисления характеров НП конечных групп
Представим класс Ki как объединение элементов: Ki = ац + а а + + сцти Очевидно, bKjb~l = Ki, Ьє G. В сумме KiKj- = KjKi = Y^ciucijs каждый элемент CiitUjs¦= ау входит вместе со всем классом сопряженных элементов Kk, ибо bakr'b1 = bait b ] bcijs b] є KiKj. Таким образом, KiKj составлено из классов:
KiKj=JjCiijkWk. (2.8) к
Положительные целые числа c(ijk) в этих соотношениях называются структурными
коэффициентами группы. Пусть G —» Га, g —» D(a\g), тогда Ki Di = btE (следствие
леммы Шура), SpA- = тф = ЬіПа, Етг-|х/|2 = g, поэтому па2 = Согласно (2.8)
bibj = Tciijk)bk. (2.9)
Решение этой системы уравнений дает возможные наборы а с ними и наборы
характеров х/а). Например, для группы СзУ (К\ = е, K2 = Сз + С2, K3 = с/1-1 + с/2) + с/3)); 2 2
b\ = 1 ,Ъ2 = 2Ь\ + Ь2, Ьз = 3b\ + ЪЪ2, Ь2Ьз = 2Ьу, характеры трех НП: Гі(1,1,1); Г2(1,1,-1); Гз(2,-1,0).
Из (2.9) и (2.5) следует, что
a ka
Ki = е, c(ij\ ) = mjbij, где класс Ki- состоит из элементов, обратных элементам Ki, Xii=Xi*, Ttiv=Tni. Таким образом,
ZxSa) * %f ^rniTnjZg2 = sv. (2.10)
a
Отсюда вытекает, что число классов сопряженных элементов не превышает числа неэквивалентных НП, т.е., совпадает с ним (ср. §2.4).
2.10. Другие методы вычисления характеров
При наличии инвариантной подгруппы N имеет место гомоморфизм G —> G/N, в силу которого представления фактор-группы одновременно являются представлениями исходной группы.
Составление характеров для группы по характерам НП произвольных ее подгрупп ітеорема Фробениуса): Hcz G , Cpfv-1 — характеры НП H, тогда
Mjh т
35 — характер (вообще говоря, приводимого) представления G. Здесь /г — индексы классов H, элементы которых в группе G входят в один класс Kj. (хк = 0, если элементы класса Kk не содержатся в подгруппе Н.) Доказательство: каждое НП G —» Га является представлением (приводимым) H, поэтому = Ха^фл^ = YjCiavtyiP =••• для классов Ki ei G, содержащих элементы Н. В силу (2.10)
