Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
2.3. Лемма Шура и ее следствия
Лемма Шура: если
двух неприводимых представлении I а и Гр (любой группы), то либо X= 0, либо X— неособенная квадратная матрица, и тогда Га эквивалентно Гр. Доказательство: матрица X содержит па = dimTa столбцов и щ строчек и (линейно) отображает векторы мер но го пространства с базисом {ег} на векторы ир-мерного. Транспонированную матрицу X можно рассматривать как отображение ир-мерного пространства на «„-мерное. При па > «р векторы {Ае,} линейно зависимы, т.е., существуют ненулевые векторы X = Qei такие, что Xx = 0. Эти векторы образуют подпространство в Lna, которое по условию леммы оказывается
30 инвариантным относительно всех D(a); в силу неприводимости Га оно обязано совпадать со всем пространством, и, следовательно, X=O. При па < щ из тех же соображений X = 0, т.е., снова X=O. При па = Щ векторы {Xeі} не обязательно линейно зависимы, но тогда X— неособенный оператор.
Следствие (вторая лемма Шура): если XD{a)(g) = D{a)(g)X для всех g є G, то X=XE — скалярная матрица. (Если X — неособенная матрица, то X - XE, где X — собственное значение X, особенная, а поэтому X - XE = 0.) Отсюда вытекает важный вывод для абелевых групп: все НП абелевых групп одномерны.
Рассмотрим конечную группу G (порядка g) и ее НП Га и Гр. Пусть MiJ — прямоугольная матрица, в которой только один элемент (в г-й строчке и j-м столбце)
отличен от нуля и равен 1. Матрицах= — XD(^(g)MijD(a\g~]) удовлетворяет условию
g g
леммы Шура (а при а = ? — условию следствия из нее); поэтому можно написать X=A,ij8a??, полагая, что а Ф ? означает неэквивалентность представлений Га и Гр.
Расписывая это матричное равенство по элементам, получим соотношение:
8 g
Полагая здесь а = ?, I = к и суммируя по к, находим Xy = 8у /па; подстановка этого выражения в приведенное выше равенство приводит к соотношению ортогональности для матричных элементов НП. Для унитарных представлений D(g~l) =D(g)* (звездочка здесь означает комплексное сопряжение, а тильда — транспонирование), и поэтому соотношение ортогональности можно представить в виде
1Z Ча) te) * DiP = -SapSwS77. (2.1)
Sg «а
2.4. Характер представления Характер элемента g в представлении Г: %r(g) = Sp DT(g). Характеры сопряженных элементов совпадают, yj(agcTl) = %г(g), и можно говорить о характере класса сопряженных элементов. Характер представления Г — совокупность характеров элементов группы (классов) в этом представлении. Характеры
31 эквивалентных представлений совпадают. Из (2.1) вытекают соотношения ортогональности для характеров НП.
-IjXiaHg)* (g) = 5ар, S „
или (для конечных групп)
1Z^XSouXP=Sap, (2.2)
S і
где ті — число элементов класса Ki. Вследствие этого, число неэквивалентных НП группы не превышает числа классов к (как будет показано в дальнейшем, совпадает с
ним). Действительно, число ненулевых векторов =
mLy (а) &у(а)
""Iglk
ортогональных друг другу согласно (2.2), не превышает размерности пространства.
Однозначность разложения вполне приводимого представления по неприводимым:
Г = XXra, => Xrte) = XXx(o)te), Na = І?т.ХпХ(сО *. (2.3)
g
а а ° і
1ZlXrM2=Z^a- (2.4)
Sg а
Критерием неприводимости представления Г служит обращение правой части (2.4) в единицу.
2.5. Регулярное представление конечной группы. Регулярное представление конечной группы: gs —» Gs, где матрица Gs определяется соотношением
(gsgh gsg2, -, gsgg) = (gsh gs2, -, gsg) = igh gl, -, gg)Gs,
т.е., (Gs)ki = 8ksi. Характер регулярного представления: %reg(e) = g, Xreg(а * е) = 0. Разложение на НП: согласно (2.3), Na = па = dim Га. Отсюда вытекают важные соотношения Бернсайда:
g = Xregie) = Y,NaX(a\e) = Z«a, X>aX(0)(« *е) = 0. (2.5)
a a a
Например, группа T имеет 4 класса сопряженных элементов, а значит и 4
неэквивалентных НП, размерности которых связаны соотношением (2.5):
2 2 2 2
П\ + П2 +Из + «4 = 12, т.е., имеются три одномерных и одно трехмерное НП.
32 2.6. Комплексно-сопряженные представления Комплексно-сопряженные представления: r={?)(g)} и r*={Z)*(g)}; Xr4=Xr*-Если Г — НП, то Г* — тоже НП. Если характер Г вещественный, то Г и Г* эквивалентны. Для эквивалентных НП Г и Г* D(g) = SD*(g)S~l = SS*D(g)(S*)~1S~1, и, согласно лемме Шура, SS* = XE. Для унитарных Г матрица S может быть выбрана унитарной (задача 5), и тогда S = XS , откуда X = +1. При X = 1, S = S представление Г называется потенциально-вещественным, оно эквивалентно вещественному [с вещественными матрицами D(g) = D*(g)\. Если U — матрица преобразования к
вещественной матрице D': D' = V1DU = (U-1DU)*, то D = (UU)D*(UU)~\ т.е., матрица U находится решением уравнения Ul7 = S. Отсюда видно, что
псевдовещественные представления (S = -S) никаким эквивалентным преобразованием не могут быть приведены к вещественному виду. Сумма комплексно-сопряженных представлений Г + Г* всегда может быть приведена к вещественному виду: если Dr(g) = D\(g) + iD2(g), где D\(g) и D2(g) — вещественные матрицы, то
S
<Dr (g) 0 D2 - KE iE
