Теория симметрии (конспекты лекций и задач) - Аминов Л.К.
Скачать (прямая ссылка):
25. Найти все элементы группы Pn , перестановочные с циклом (123...п).
26. Доказать, что если разложение перестановки р на независимые циклы состоит из циклов длин т\,ті,...,Шк, то порядок р равен наименьшему общему кратному чисел mhm2,...,mk.
27. Доказать, что четность перестановки рє Pn равна {-\)п~т, где т — число циклов, на которые распадается перестановка.
28. Доказать, что множество транспозиций (12), (23),..., (п-\,п) порождает группу Pn.
29. Доказать, что две перестановки (12), (12...п) порождают Pn.
30. Разбить группу P5 на классы сопряженных элементов.
31. Разбить знакопеременную группу A4 (подгруппа четных перестановок группы Р4) на классы сопряженных элементов.
32. Перечислить подгруппы, сопряженные Рз в группе Р4.
33. Показать, что в группе вращений коммутируют между собой только вращения вокруг одной и той же оси или повороты на TZ около взаимно-перпендикулярных осей.
34. Разбить на классы сопряженных элементов унитарные группы U(и).
35. Показать, что преобразование С(ср)/ является зеркальным поворотом.
36. Показать, что группа самосовмещений многогранника, имеющего п вершин, изоморфна некоторой подгруппе Pn.
27 37. Найти подгруппу самосовмещений правильного п-угольника в группе всех движений плоскости.
38. Пусть фигура Ф состоит из всех точек плоскости, имеющих целые координаты в некоторой прямоугольной системе координат. Найти подгруппу самосовмещений Ф и описать ее подгруппы четвертого порядка.
39. Найти наименьшее множество элементов, порождающих группу Dn.
40. Показать, что все элементы группы октаэдра О порождаются поворотами вокруг осей четвертого порядка.
41. Показать, что главная ось группы Dnd есть зеркально-поворотная ось порядка 2п.
28 2. Линейные представления групп
2.1. Определение представлений Линейным представлением группы G называется гомоморфизм G —» Г [g —» D г(?)], где Г = { D rig)} — группа неособенных линейных операторов, действующих в некотором пространстве Ln, или соответствующих им матриц. Размерность представления (п) — размерность пространства L „ (порядок матриц). Изоморфное отображение G^r называется точным представлением. Два представления Г и Г' одинаковой размерности называются эквивалентными, если имеется хотя бы один неособенный линейный оператор (матрица) S (мы не всегда используем значок * для обозначения оператора) такой, что DT<(g) = SDTS~l для всех ge G. Эквивалентные матричные представления можно рассматривать как представления одними и теми же операторами, записанными в разных базисах. Унитарные представления — представления унитарными операторами (матрицами).
Представление Г называется приводимым, если имеется нетривиальное подпространство Lm a Ln, инвариантное относительно всех операторов DT(g). В противном случае представление называется неприводимым (НП). Матрицы приводимых представлений в базисе (е\,...,ет,ет+ і,...,еп), где (еі,...,ет) — базис Lm, имеют "приведенный" вид:
( ~
Dr (g) =
D1 ig) Dti (g) О D2{g\
Приводимое представление индуцирует два представления меньшей размерности: Fi, g Di(g); T2, g Diig). Представление Г называется вполне приводимым (разложимым), если пространство Ln распадается в прямую сумму двух или более инвариантных относительно всех Dvig) подпространств, в каждом из которых индуцируются неприводимые представления. В подходящем базисе (составленном из базисов инвариантных подпространств) матрица такого представления имеет вид "прямой" суммы матриц, соответственно, Г называют суммой НП, Г = Г і + Г2+ ... .
29 2.2. Разложение приводимых унитарных представлений
Приводимые унитарные представления вполне приводимы, поскольку унитарное пространство можно записать в виде прямой суммы подпространства Lm и его ортогонального дополнения Lm1, а из инвариантности Lm относительно унитарных операторов вытекает и инвариантность Lm1. Представления конечных групп унитарны: в пространстве, где действуют операторы D (g), можно определить скалярное произведение таким образом, что эти операторы будут сохранять его, {D (g)x, D(g)y}={x,y). Достаточно положить {х,у} = Tg ( D (g)x, D(g)y), где (jt.jy) — произвольное исходное скалярное произведение. "Старое" скалярное произведение сохраняется
A. -J
операторами SDS~ , где S — матрица перехода от любого ортонормированного по-новому базиса^ {ft, fj] = 8ij, к базису е,-, ортонормированному по-старому: (е,-,ej) = 8у, Sfi= е{. Для доказательства удобно дважды воспользоваться соотношением (&с,5У)= {.*:,>>}, которое легко получается, если разложить х и у по координатам: Jt = Qf,
у= ^ifi-
Сказанное выше сводит исследование представлений конечных групп к нахождению их неэквивалентных унитарных НП.
Утверждение об унитарности представлений (а также приводимые ниже соотношения ортогональности матричных элементов и характеров НП) можно распространить и на непрерывные компактные группы, заменяя сумму по группе Y.gF{g) "инвариантным" интегралом JF(g)dg = \F(gog)dg. Фактически это интеграл по параметрам группы (в конечных пределах!) с некоторой весовой функцией:
