Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
з
низкого порядка, чем T2 (напомним, что По-
1 й этому даже для спина s = эти поправки не могут быть
более низкого порядка чем T1^2, в то время как поправки, связанные с Sei, пропорциональны T5.
Таким образом, согласно (30.1.5), (30.1.3), выражение для AQ может быть представлено в виде
AQ = J^nCnJou, SeiIl
? ] \
_ JV_ ^ e^'^'Se/^о j Ф12j . (ЗО. 1.6)
Как уже указывалось, основной вклад в промежуточные состояния вносят магноны с энергией порядка J0. Поэтому в интеграл по ?' в последней формуле главный вклад вносят
такие значения ?', для которых ?'c<-i-. Так как ?^>-y-.
J о Ja
то в формуле (30.1.6) можно пренебречь величиной ?'/? по
сравнению с 1 и заменить верхний предел интегрирования ?
-319 на оо. В результате мы получим
Ай = T S "1^2 ^12' { 1 - A - Є1 - Є2 + Ч)'1 ф12)'
12 (30.1.7)
где 0. (Правило обхода в операторе Md— E1-E2
в формуле (30.1.7) является несущественным, так как Є] H- Z2 ~Т). Вводя вектор состояния
Y12=Il -(MD -Zl-Z2^iir'^/}ф12. (30.1.8) перепишем формулу (30.1.7) в виде
AQ = I^W* 12. (30.1.9)
12
где величина
ві2 = (Ф12. SVixPia) (30.1.10)
представляет собой амплитуду рассеяния двух магнонов на нулевой угол.
Таким образом, вычисление поправки к термодинамическому потенциалу, обусловленной обменным взаимодействием магнонов, сводится к чисто динамической задаче определения амплитуды рассеяния магнонов.
2. Уравнения, определяющие амплитуду рассеяния двух магнонов. Переходя к решению этой задачи, заметим предварительно, что вектор состояния vF12, определяющий амплитуду а12 рассеяния двух магнонов, удовлетворяет, согласно (30.1.8), уравнению
(MD -Z1-E2 + /?) Y12 = /|Ф12. (30.2.1)
Таким образом, при »-0 1F12 удовлетворяет уравнению Шредингера с учетом обменного взаимодействия между магнонами.
Гамильтониан Md имеет, согласно (29.6.15), следующий
вид:
Mt D = M>q —|- Mt/¦
где
M0 = Izs(Ii) a+(k) a (k), к
= ^ 2 Ф1С1:2;; 34) в+а+а8а4Д (A1 + A2- A3 - A4),
1234 ("ЗО 2 21
zs(k)=2n0Hf + s(J(0)-J(k)), ( -J
Ф(12, 34) = 1(7(^) + 7(^)-7(^-^)-7(^3-^)}.
-320 Так как Ф12 = я+а+Ф0 и гамильтониан Md сохраняет число частиц, то
^12=SJt12U'. 2')а+,а+Ф0, (30.2.3)
где ф12(1', 2') = фі2(2'. 1') — искомая волновая функция двух магнонов.
Пользуясь перестановочными соотношениями для операторов а + , а, легко убедиться, что
W12 = S а+а+Ф0 ( (є,, + е2.) Ф12 (1 ¦20 +
1'2' I
+ 3'4')А(1' + 2'-3'-4')ф12(3'. 4')j
3'4' j
(напомним, что мы пользуемся обозначениями I=A1, 2 = k2, 1 -(-2 = A1 -f-A2 и т. д.).
Подставляя это выражение в (30.2.1), найдем
Ce1- -f- е2' -eI — е2 Ч~ ^D Фі2 (1 '> 2')+|г2Ф(1/2/; 3'4')Х
3'4'
X А(Г + -2'— 3' — 4')ф12(3', 4') = ед2(1', 2'), (30.2.4) где
ф°2(1', 2 ') = у {А (А, — AQ A (A2 — AQ + A (A1 — A2Q A (ft2—ftQ}.
Будем в дальнейшем учитывать обменное взаимодействие только между ближайшими соседями. В этом случае
У (A) = V0S е'*р р
(суммирование здесь производится по векторам ближайших соседей) и функция Ф(12, 34) приобретает вид
Ф (12; 34) = ^^(6^ + ^)(1-e-^). (30.2.5) р
Вводя обозначение
F,( 12; і' + 20 = —!]?(і-Г'*зР)фІ2$, A1-J-A2 AQ,
3 (30.2.6)
21 А. И. Ахиезер 321 представим уравнение (30.2.4) в виде (E1- + E2. — E1 — E2 + II) ф12 (12') —
-^2)(^ + ^)^.02; Г+2') = ^ф?2(1'. 2'). (30.2.7) р
Разделив это уравнение на C1 --(-C2--E1—E2-М?, легко показать, что
2sFp(12; V+ 2') —y^lAtfF9. {\2\ Г +2') = p'
= -1 (е--(- — 2), (30.2.8)
где
/ ift'pV їй У i(k+k-k'\ p\
Лр'(12; = gJ + I- -•
W —І еГ + еГ+2"-Г eI e2 ~Ь 'S
Выразим через величины Z7p амплитуду рассеяния а12. Из уравнения (30.2.1) следует:
(Ф12, ^Y12) = il- ^(Ф12, Y12). (30.2.9)
Но, согласно (30.2.3),
(Ф12, Ч'12) = 2ф12(1, 2).
Замечая, что (1, 2)='/г. найдем из (30.2.7)
ф12(1, 2)=1+1|1+2).
р
Наконец, подставляя это выражение в (30.2.9), получим
A12 = (Ф]2. W12) - - ^2) + в'") Fp(12; 1 + 2).
(30.2.10)
Таким образом, для нахождения амплитуды рассеяния необходимо знать только величину FP = FP( 12; 1 + 2), которая удовлетворяет, согласно (30.2.8), уравнению
2sF,-~ 2 Лр'^р' = l(e-«.p + e-''fe2p— 2), (30.2.11) р'
-322 где ^
= -?"^'"""''1(^-4 VP'). (30.2.12)
??р = ?_p =
= 2?Уо^ _?^_
^ = Al+ A2-
Система алгебраических уравнений (30.2.11) может быть упрощена, если ввести вместо Ffl величины
Gp = ± { е2 + е"* iqeF^ р }, (30.2.13)
удовлетворяющие, как следует из (30.2.11), (30.2.12), уравнениям
2sGp — Y S ?p+p') Gp' + cos T^p ^J ?p'Gp' =
p' p'
— cos !(ftj—A2) p— cos у ^p. (30.2.14)
Определив Gp, легко, согласно (30.2.10), (30.2.13), найти амплитуду а 12:
«12 = Op cos ^(A1-A2)P. (30.2.15)
р
3. Амплитуда рассеяния магнонов в области малых импульсов. Для нахождения величины AQ при T как
видно из формулы (30.1.9), нужно знать поведение A12 при kxa 1, k2a 1. В этом случае система уравнений (30.2.14) упрощается:
2sGp+ 2 (?p'-?p_pO Gp. = I(A1P)(A2P)1 (30.3.1) р'
где
^нге^їг^г' єо = es(0)- (30-3.2) k
