Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы убедиться в ортогональности векторов состояний Ф„ и Ф„' при пфп', умножим уравнение (29.1.4) скалярно на Ф„':
(Ф„., а+аФп) = п(ФпФД
Так как
(Фя., а+афл) = ((а+а)+фл,, ф„)
-299 Й (u + u)+=u + u, то мы приходим к соотношению
я'(Ф»'. Ф») = я(Ф»'. Фя).
откуда и следует ортогональность векторов состояний при пфп'.
Мы видим, таким образом, что, если потребовать, чтобы операторы а и а+ были эрмитовски сопряженными в пространстве векторов состояний Фл, то мы придем к метрике (29.2.1).
Легко видеть, что в этой метрике операторы s+ и s_, определяемые соотношениями (29.1.3), не будут эрмитовски сопряженными. Покажем, однако, что можно определить метрику в пространстве векторов состояний Ф„ таким образом, чтобы операторы s+ и s_ были в ней эрмитовски сопряженными, а оператор s2— самосопряженным. Это значит, что может быть определено скалярное произведение векторов состояний Ф„, которое мы будем теперь обозначать через (Фл, ФЛ') таким образом, чтобы выполнялись соотношения
<0У, «±ФЯ) = (^ФЯ-. Фя),
(29 2 3)
(Ф„-, згФа) = (?Ф„, Ф„).
Мы будем предполагать, что скалярные произведения (Ф„', Фл) и (Ф„', Ф„) связаны между собой соотношением
(Фя<, Ф„)=(Ф„., FOn), (29.2.4)
где F— некоторый оператор, который называется метрическим оператором. Так как скалярное произведение (vF1 Ф) должно обладать свойством
(W, ф)*=(ф, W),
то оператор F должен быть эрмитовым в метрике (29.2.1):
F+=F. (29.2.5)
Найдем вид метрического оператора F. Из равенств (29.2.3) следуют, согласно (29.2.4), соотношения
(Y, /^±Ф) ==(4^, s+/="®), (4', Fs Ф) = (гР, 5+ FOy
откуда
Fs±=s+F, FrS2 = S+F. (29.2.6)
-300 Подставляя в эти соотношения выражения (29.1.3) для s±1 sz, найдем
1 —-?-) F = Fa+, nF=Fn, (29.2.7)
где п = а+а. Мы видим, что F приводится к диагональному
виду вместе с п. Поэтому первая формула (29.2.7) дает (1 =
где
Fn = (OnlFOn).
Таким образом, откуда
^ = 1.(1-^-)...(1-?!). (29.2.8)
Это выражение показывает, что Fn = О при n '^-2s-\-\. Возвращаясь к выражению (29.2.4), получим
(OniOnO = Z7An-. (29.2.9)
Эта формула показывает, что метрика, задаваемая скалярным произведением (vF, О), является индефинитной, так как скалярное произведение (On, On) при п > 2s, т. е. для дополнительных состояний обращается в нуль, хотя On =j= 0.
3. Связь матричных элементов спинов и идеализированных спинов. Наша задача заключается в установлении связи матричных элементов операторов sz, s± с матричными элементами операторов sz, s±-
Введем с этой целью собственные векторы оператора sz, которые мы будем обозначать через | п):
sz\n)=(n — s)\n), (29.3.1)
где га = O1 1, 2, ..., 2s (величина т = п — s представляет собой проекцию спина атома на ось z).
Вектор состояния I п) может быть построен с помощью вектора состояния | 0), определяемого уравнениями
sz 10) = — S 10), s_|0)=0 (29.3.2)
(второе из этих уравнений учитывает тот факт, что нет векторов состояний с проекцией спина, меньшей чем —s). Для
-301 этого необходимо подействовать на 10) оператором (sf)*:
I П) = (2s)-n/*(n l)~v> (s+)n 10). (29.3.3)
Действительно, согласно (29.3.4),
«,(«+)" = («+)"(« + *,). (29.3.4)
откуда и из формул (29.3.3), (29.3.2) непосредственно следует (29.3.1).
Покажем, что состояния | п) удовлетворяют следующим условиям ортогональности и нормировки:
(n\n') = Fnbnn„ (29.3.5)
где Fn определяется формулой (29.2.8). Заметим с этой целью, что векторы состояний (29.3.3), как собственные векторы эрмитовского оператора sz, являются ортогональными, т. е.
(n'\n) = An(2s)-n±-\n„ (29.3.6)
где
A = <0|sn_sj°>-
Найдем величину An. Замечая, что s (s -f- 1) = S2z -(--f- Y (s + s_ -f- s_s+), и используя соотношение [s+, s_] = = 2sz, получим
s,s+=(s-sz)(s+s2+l). (29.3.7)
Эта формула и формула (29.3.4) позволяют представить оператор sis+ в виде
sIs+ = sn_~'is_s+sn^1 = Si-1S^-1 (s — sz- п + l)(s + Sz + п).
Усредняя это равенство по состоянию 10) и используя (29.3.2), найдем
A* = A-I (і — -?^-)25"-а так как A0 = 1, то
A„ = n!(2s)nFn, что и требовалось доказать.
Таким образом, векторы состояний L. | п) являются ортонормированными. 302 Установим теперь связь между матричными элементами операторов «и«.
Докажем, что если 0(s) представляет собой произвольную функцию операторов проекций спина Si, то имеет место следующее общее соотношение:
</t IО(S) I я') = <ФЯ, O(PsP)IВя.)=(Фя, FO(PsP)On.),
(29.3.8)
где P—оператор проектирования на подпространство физических векторов состояния:
\Фп, «<25, РФ. =r п „ (29.3.9)
" (0, «>25. 4 '
Формула (29.3.8), если отвлечься от операторов проектирования сводит задачу о нахождении матричных элементов оператора O(S) к задаче о нахождении матричных элементов произведения бозе-операторов а, а+ между состояниями Ф„, Ф„', являющимися собственными состояниями оператора числа возбуждений п = а+а.
Для доказательства формулы (29.3.8) предположим сначала, что эта формула справедлива для O(S) = Si, и покажем, что она будет справедлива для G(s) = 5;5ft.
