Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Замечая, что Ei(A) — E0 = — J0 2 (e'ftp— 1). имеем, очевидно,
р
2(?p — ?p_p') = o, р ^o. (зо.з.з) р'
21* 323 Дальнейшие вычисления мы произведем для простой кубической решетки. Из величин A1, A2, р в этом случае можно построить только два инварианта:
(A1A2)O*, Z(р) = (A1P)(A2P) — 1 a2 (A1A2) (30.3.4)
(мы учли, что P2 = O2). Поэтому решение уравнения (30.3.1) должны иметь вид
Gp = Az (р) + Aa2(A1A2)1 (30.3.5)
где А, А' — некоторые постоянные.
Замечая, что ^z(P) = O и используя (30.3.5), получим р
после суммирования уравнения (30.3.1) по р
Af (30.3.6)
(мы учли, что в простой кубической решетке у каждого атома имеется шесть ближайших соседей).
Найдем теперь величину А. Согласно (30.3.3) для простой кубической решетки
2 (?p< - ?p-pO = 2 (Bi. - Б® = 0, (30.3.7)
P' P'
та < как для всех ближайших соседей величины B0p одинаковы. Подставляя (30.3.5) в (30.3.1) и учитывая (30.3.7), получим
2 B°9+p.z (p') = ГZ (р), (30.3.8) р'
где
r = (30.3.9)
Так как ?(р) — известная величина, то уравнение (30.3.8) определяет Г и тем самым искомую величину А. Для простой кубической решетки
Bl^B0hhh = - ^dx1 \dx2 J dx&'V'U*+J*+M
— л —я —л
где (30.3.10)
Q = 1 6л3 (3 — cos AT1 — cos x2 — cos лг3), jt = ,
-324 Полагая в формуле (30.3.8) р = (я, 0, 0), получим Гг(1. 0, 0) = ?V(l. 0, 0) + ?ooo«(l. 0, 0)4
¦f 2??i0[z(0. 1, 0)4 *(0. 0, 1)], zUv J2. Л) (P).
Замечая, что г (1, 0, 0)+ г (0, 1, 0)+ г (0, 0, 1) = 0, найдем r = ?200 +?a00-2??10. (30.3.11)
Согласно определению ?p величины B200 и ?ooo можно вы-
Do Do разить через Вюо и d110-.
В%ю = 5??oo — 4?no — I
6 '
r0 _1 1
?>000 = DlOO
Подставляя эти выражения в (30.3.11), получим
Г = 6 (??oo — ?iio). (30.3.12)
или
Г = 6 J dx j J dx2 J dx3 cos X1 (1 — cos Ar2)Q~'.
-л -л -it
Приведем значения величин Г и Вт'-
Г «0,2, ??oo« 0,086. (30.3.13)
Таким образом, в области малых значений H1 и A2- решение системы уравнений (30.3.1) имеет вид
= -Ш а2 ik^+ T(2s ~ Г)_1 {(Alp)(A2p) - І a4klkJ } •
(30.3.14)
Перейдем теперь к нахождению асимптотического поведения амплитуды рассеяния а12 при Aja<^l, k2a<^l. Последняя связана с величиной Gp соотношением
?i2=—cos-I(Ai--A2)p. р
Подставляя сюда (30.3.14), найдем
Ua
112 -
N
-A2(AiA2). (30.3.15)
Как мы видели выше, знание ^2 позволяет определить поправку к термодинамическому потенциалу AQ1 обусловленную
-325 обменным взаимодействием магнонов. Однако формула (30.3.15) для а12, справедливая с точностью до членов порядка ft2, обращает AQ в нуль. Поэтому для нахождения AQ необходимо знать O12 с точностью до ft4. С этой целью представим амплитуду рассеяния а12 в виде
а12 = — -^jr S 0P { C0S \ — k2) P — COS \ (Ьх + ft2) P I — P
+ (30-3-16)
P
При вычислении первого члена в этом выражении можно, очевидно, воспользоваться асимптотическим выражением (30.3.14) для Op. Используя (30.3.14), легко получить
— ^jr- S 0р { cos Y~k^ P — cos Y (ftI + k2) P } =
P
=^r- {і?4 (A'A2)2+л S* (p) ^ }
с точностью до членов, пропорциональных ft4 включительно. Учитывая, что эта величина будет в дальнейшем, согласно (30.1.9), интегрироваться по направлениям векторов Zf1 и ft2, мы можем заменить ее следующим выражением:
— jTT" S Gp { cosIi — A2) P — cosl (A1 + ft2) p j
p
+ (30.3.17)
Для нахождения второго члена в формуле (30.3.16) необходимо воспользоваться точными уравнениями для величин О р. Умножая уравнения (30.2.14) на cos -g- (A1 + ft2) р и суммируя по р, получим
2s Op cos -і (A1 +'A2) р = р
= 2] { cos У—р ~ cos "5"+ А2) P } cos -і (A1 + A2) р + р
+ У
cosy (A1 + ft2) p ?p+p'Gp'. p p'
-326 Легко проверить, используя определения (30.2.12), (30.2.2) величин Bf, Es (А), что
2 ?p+p' cos J (kl + A2) р =
P
= ?p. 2 cos "2 (A1 — A2) p cos J (A1 + A2) p. p
Поэтому
2s 2 Op cos I (Ai + A2) p = p
= jS [cos I(ftI-^)P-cosY(Ai + A2)pjcosY(A!+A2)p jx
xji
Так как первая фигурная скобка в этом выражении пропорциональна ft2, то для вычисления 2s ^ Op cos I(Ai + A2) р
р
с точностью до членов, пропорциональных ft4, достаточно воспользоваться формулой (30.3.14) для Op. Учитывая, что величина ап при вычислении AQ интегрируется по углам, определяющим направление векторов A1 и A2, можно произвести замену
2s 2 Op Cosi(A^A2) р->1 аХъ\(- T + ^)" (30-3-18) р
Подставляя, наконец, (30.3.17), (30.3.18) в (30.3.16), получим окончательно
«12 —^r ^kik22Q(S), (30.3.19)
где
QW = T- 5 +-^Tsl- (30.3.20)
Заметим, что
Q (оо) = 1.
Подстановка (30.3.19) в (30.1.9) приводит к следующему выражению для поправки к термодинамическому потенциалу, обусловленной обменным взаимодействием магнонов:
AQ = Q(S)Q1, (30.3.21)
-327 где Q1 определяется формулой (21.4.3),
Эта формула определяет поправку к термодинамическому потенциалу, обусловленную обменным взаимодействием магнонов в предположении, что T Tc. Что касается величины спина атома s, то, как уже указывалось, он может быть произвольным.
