Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
4«g
где
Л (ft, со) =-Jgr J «(ft) .ft-
J Cfft1 dk?> (ft2, ft3; ft, ft,) X
w «1 (1 +n2) (1 + П3) —Я2Я3 (1 +/T1) CO2-I-CO3 — CO1 — CO — І0
Эта формула справедлива с точностью до членов порядка Ф2.
Используя последнее соотношение, а также формулу (31.1.6), получим окончательно следующее выражение для функции Грина G(r) (ft, со);
Мг)(Ь .л 2sII (ft. <а) 2s R (ft, и) _
1 ; fflj (ft) — to— 2 (ft, со) Icoj(A)-a — S (ft! ш)|2 '
(31.2.17)
где
II(ft, со) = 1 --L Л (ft, со), R (ft, со) = (Coi (ft) — со) П (ft, со)—2* (ft, со).
(31.2.18)
Учитывая (31.1.2), получим отсюда следующие выражения для компонент тензора Х/у(А- и):
Z^ (А. ®)=х;у(А. ®)=
2S|Xg Г ? (ft, со)
v0h t I COi (ft) — со— 2 (ft, (O)I2
, Я* (— ft.
Icoi (ft)+Щ
— ft, — и)_
— 2 (— ft, -(O)I2 Г
X^ (ft, (O) = -X^ (ft. O) =
(31.2.19)
. 2S|Xg f A (ft, ffl)
V0H [ |шЛ(А) — to — 2 (ft, сй)|2
RU-
ft, — to)_)
I COi (ft) -|— to — 2 (— ft, — to |2 )•
Таким образом, нахождение тензора xjy(ft. сводится к вычислению величин 2(ft, со) и R(k, со), определяемых формулами (31.2.8), (31.2.16).
-336 Прежде чем получать конкретные выражения для компонент тензора x'ijik. (о), покажем, что величина R(k, со) удовлетворяет неравенству
со Im/? (ft, со) > 0. (31.2.20)
Действительно, из (31.2.16), (31.2.8) имеем
Im R (ft, (о) = -^w [еТ - 1) Jrfft1 dk2 (со, (ft) - ©) + + 0>(ft, ft3; ft2, ft,))®^. k\, k' h) X
ХПХП2(\ +/Z3) 6 ((O1 +CO2-(O3-(O), A3 = A1 + ft2 —ft.
Используя далее выражение (31.1.5) для Ф(Л, ft3; ft2, A1), получим
4v2 ( — \ Г Im R (ft, 0,) = ^-(^ _ !j j ^ft1 rfft2| 0(ftp ft, йз)рх
X ^2(1+?) 6 К+ (O2-(o3 —(о), (31.2.21)
откуда и следует (31.2.20).
Учитывая (31.2.17), мы видим, что
(о IitiGm (ft, (о) > 0.
Это неравенство является общим свойством функции Gw (ft, м), определяемой равенством (31.1.3), и следует из формулы (22.1.11) и положительности спектральной функции /(ft, со).
Неравенство (31.2.20) обеспечивает положительность энергии, поглощаемой ферромагнетиком. Действительно, спектральная плотность последней Qa определяется, согласно (22.3.4), формулой
JdftH k-{k' ю> |2lmx'_+(—-(0)-
— |ft+(ft, (o)|2Imx:,_+(ft, (о)}, (31.2.22)
где
Ho, согласно (31.1.2),
Xl+(ft, (0) = --?!^'(ft. (0) =
_ (2ц0)2 2s/? (ft, со)
fofi |as(ft) —и —2(ft, co)|s - ^
22 А. И. Ахнезер 337 Поэтому
Mlmv' <Ъ ,Л— (2|i„)2 2so) Im R (ft, ffl) ^ л
3. Компоненты тензора высокочастотной магнитной восприимчивости. Перейдем теперь к выяснению характера функций Xiю). Рассмотрим прежде всего область резонанса, когда I со — W5 (ft) I Coj (ft). Используя формулы (31.2.19), (31.2.18), легко убедиться, что в этой области
°)=х;„(*. а»=
_ 1_gM0
(ft, <о) = —х'ух(к, со)
2 0) — fflj (ft) _ Afflj (ft) + Zyj (ft)' '
gM0_
(31.3.1)
2 ffl— Mj (ft) — Awj (ft)+Zyi (ft) '
где
^o = -?*-. V,(Л) = Im 2(ft, (ft)).
vO
Acoi (ft) = — ReS (ft, COj (ft))
(если CO < О И I CO + COj (ft) I COj (ft), TO КОМПОНЄНТЬІ ТЄН-зора Xij (А. ®) определяются этими же формулами, в которых нужно лишь заменить со на —со и перейти к комплексно сопряженным величинам).
В разделе 2 § 22 мы видели, что полюсы тензора х' (ft. 0O определяют частоты и декременты затухания спиновых волн, поэтому Yj(ft) есть декремент затухания спиновой волны, a CDj (ft)Acoj (ft)— ее частота. Мы видим, что эти величины тесно связаны с массовым оператором 2 (ft, со), а именно: декремент затухания ys(k) представляет собой мнимую часть массового оператора в резонансе, а величина Acoj(ft)— его вещественную часть. Обратим внимание на то обстоятельство, что частота спиновой волны отличается на Aaj(A) от величины COj (ft), которую мы до сих пор считали частотой спиновой волны. Это отличие можно интерпретировать в корпускулярной картине как изменение энергии магнона Aes(ft) == = ZiAcoj (ft), вызванное взаимодействием магнонов друг с другом.
-338 Используя формулу (31.2.8), можно представить ys(k) и Aojj(A) в виде
Yj(A)=Im S(А, и,(Л)) =
( ^ ) г
т — 1/J ^A1 dA2| Ф(А], A2; A, A3) р X
(2 я)5 S2
X И)И2 (1 H- пз)6 (Ю1 H-W2-(O3-O)j. (А)),
(31.3.2)
A1
Acoj(A), Отметим, что
к г
(2л)3 h J
А,
dkti (А)Ф(А, A1; A, A1).
Im S(А, со,(A)) = Im/?(А, со,(А)).
Приведем выражения для ys(k) и Aw5(A) предельных случаях [5, 6]:
1Л0М0 / Г \2
некоторых
Y, (k) =
24я
SJ0 h
gMо-
s7„
s/0
I со, (A) - -Oi (O) I <C CJj(O) C y . (31.3.3)
(ak)3
sJ n
CO5(A)^ws(O),
Мы видим, что в однородном случае, когда A = O1 величины Y5 (А) и Aco5(A) определяются только энергией магнитной анизотропии, иными словами, в однородном случае обменное взаимодействие между магнонами не приводит к уширению линии ферромагнитного резонанса и не влияет на частоту ферромагнитного резонанса.
Если A = O и ? = 0, то из формул (31.2.8), (31.2.16), (31.2.18) следует, что массовый оператор обращается в нуль и
Я (0, со) = (со0—со) 1 —
22*
3 (2rt)!
J п (A) dk J ,
COn
