Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
где
W'd = -s S ^)^(1 --^)(1-Л*)(«і-«™)-
I ф т
-311 Оператор обладает очевидным свойством: если подействовать им на вектор физического состояния ФЛіл, ... (nt < 2s), то мы получим нуль:
^nll,..=0. »r<2S.
Легко убедиться, что если одно из чисел я( равно 2s 4 1. а остальные равны нулю, то в результате действия оператора ef?'D на вектор такого состояния мы также получим нуль
.„,... 0...=0, я, =2s+l. Поэтому справедливо соотношение
ЖоФЯ1п, ...^МоФпл .... 2 я, < 2s 4-1.
I
Наконец, если общее число возбуждений равно 2s -)- 2, то только при действии на векторы состояний вида
Ф... о ... Пр ... пг... о ... = +Ч+Ф0.
п р = 2s 4- 1, Iir= 1 оператор &6'D дает отличный от нуля результат.
Легко видеть, что действие оператора 3€'d на эти векторы состояний эквивалентно действию оператора
=WUT S Kf+1 КГ1 К -
Іфт
В самом деле,
4Ф...0.
и
3V%s+2) Ф..
.пр... 0.
= —1/2S + 2 2 J(Rlp) ф „о......о....
Іфр
яр = 2s 4" 2, яг=1,
0...^...0...
:-|]/2s + 2 2 У(^)Ф...о... v.о.... іфр
nr = 2s + 2, яг=1,
-312 т. е.
)(25+2).
P P
Аналогичное равенство справедливо для вектора состояния Ф...о...%...Лг...о... {np = 2s+\, nr = 1):
МоФ...0...Пр...Пг...О...= S^iD +2)Ф...0...пр...пг...0....
Ясно, что если Inl < 2s-(-2, то і
Таким образом, действие оператора S?D на векторы состояний, описывающих не более чем 2s -)- 2 возбуждения, эквивалентно действию на них оператора Md-|-є%ді+2>:
тоФ...п1...=(Мо + 3&<05+2))Ф.. 2 «г < 2s+2.
Мы рассмотрели состояния с общим числом возбуждений, не превосходящим 2s+ 2. Но аналогичным образом можно рассмотреть состояния с произвольным числом возбуждений. При этом нужно последовательно вводить операторы J^Sd5+3', 3&DS+i\ • • •. аналогичные оператору еЖд5+2) и содержащие соответственно (2s+ 3), (2s-)-4), ... операторов типа а + и такое же число операторов типа at.
Бесконечная сумма этих операторов и оператора ШD будет эквивалентна оператору gf? D'-
__OO
т. е.
&eD = Md + 2 se%s+r)- (29.6.10)
г = 2
Это соотношение показывает, что формулу (29.6.9) можно представить в виде
Z = Sp е V г-2 /. (29.6.11)
313 Оператор Md мы будем называть эффективным гамильтонианом ферромагнетика. Заметим, что входящая в него бес-
OO
конечная сумма операторов 2 Mo5+^ имеет отличные от
г-2
нуля матричные элементы только между дополнительными состояниями.
. Формула (29.6.11) принципиально решает поставленную в начале этого раздела задачу, а именно, она сводит вычисление следа матриц, содержащих операторы спинов атомов S1, к вычислению следа матриц, содержащих более простые бо-зевские операторы aj, ау
Для дальнейшего применения формул (29.6.6) удобно ввести операторы испускания и поглощения магнонов (А) и а (А), которые мы определим как преобразования Фурье операторов af и а
at
Vn
, ^ (29.6.12)
1 V elkRia(k).
У" 4
к
Из перестановочных соотношений (29.1.2) для операторов вытекают перестановочные соотношения
[«(*).«+(*')] = 6«'. (296ЛЗ) [a (A), a (k')\ = [a* (A), а+ (А')] = О
для операторов a (A), a+(k').
Используя разложение (29.6.12), можно выразить эффективный гамильтониан Md через операторы испускания и поглощения магнонов:
OO
Мо = Е0+М 0 + Mj, M1 = M1+ (29.6.14)
г-2
где
^o=Ses(A) а+(А) а (А), k
^I = Jl S Ф (A1, A2; A3, A4) X
X A (A1 + A2 — A3- A4) a+ (A1) а + (A2) a (A3) a (A4) (29.6.15) 314 и величины zs(k) и ?(?[, k2; ft3, ft4) определяются формулами
es (ft) = 2|y/[f» + s (J(O) — J(ft)), OHft1, ft2; ft3, A4) =
= j{J(k1) + J(k2) — J(k1-k3)-J(k2-k3)}, (29.6.16) J(k) = IiJ(Rlm) еік«ш.
m
Эти выражения вместе с перестановочными соотношениями (29.6.13) показывают, что оператор е%?0 представляет собой гамильтониан свободных магнонов, a a (ft) и а+ (ft) — операторы поглощения и испускания магнона с волновым вектором ft и энергией Es (ft).
Оператор е%7, содержащий произведения четырех операторов a (ft), а+ (ft), представляет собой гамильтониан обменного взаимодействия магнонов.
Явных выражений для оператора J^d5+1"' мы приводить здесь не будем, а заметим лишь, что содержит про-
изведения 2s -f-r операторов типа a (ft) и столько же операторов типа а+ (ft). Поэтому оператор <ffl(oS+T) описывает процессы взаимодействия, в которых участвует 2(2s-f-r) магнонов.
Заметим, что выражение для es(ft) переходит в известное уже нам выражение для энергии магнона (в пренебрежении энергией магнитной анизотропии и энергией магнитного дипольного взаимодействия). При ak 1 энергия магнона равна
Bi (ft) = 2 H0H^ + sJQ (ak)2, (29.6.17)
где J0 — значение обменного интеграла между ближайшими соседями.
Легко видеть, что величина Ф^, k2, ft3, ft4) (она называется амплитудой обменного рассеяния магнонов) обращается в нуль, если ft3 = О либо ft4 = 0. Это значит, что взаимодействие между длинноволновыми возбуждениями является слабым. Отметим, однако, что при ka —1 взаимодействие между магнонами отнюдь не является слабым. Только в предельном случае больших спинов s^>l, как видно из формул (30.6.16), это взаимодействие будет слабым при всех значениях А.
