Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Замечая, что состояния Fn^2 \п) являются ортонормиро-ванными, имеем
(п I SiSk I п') = 2 (я 15/| п") Fn-' {п \ Su \п). (29.3.10)
п"
Согласно нашему предположению формула (29.3.8) справедлива для O(S) = Si, т. е.
(д|5,|д") = (ф«. (29.3.11)
(в этой формуле мы опустили оператор проектирования, так как состояния Ф„, Фл* являются физическими). Подставляя (29.3.11) в (29.3.10) и замечая, что
(Фл-, FskOn-) = Fa- (Ф„-, 5~ЙФЛ.),
получим
(Д|5Л|«') = 2'(Фя. Fst0a.)(0„: SiOa.), (29.3.12)
п"
где суммирование производится только по системе физических ректоров СОСТОЯНИЙ-
-303 Заменяя в последней формуле Ф„» на РФ,,', можно распространить суммирование по п" в (29.3.12) на полную систему векторов состояний Ф„». В результате мы получим
</фЛ|я') = (Фп, FslPlpn).
Эта формула совпадает с формулой (29.3.8) при О (s) = sisk.
Поступая аналогичным образом, легко доказать, что формула (29.3.8) будет справедлива для функций G (s), имеющих вид произведений любого числа операторов si, если только она справедлива для О (s) = si.
Остается убедиться в справедливости формулы (29.3.8) для О (s) = si, что может быть сделано непосредственным вычислением. Действительно, из формулы (29.1.3) следует:
(Ф„, F~szOn>) = Fn(n- s)6nn'. (29.3.13)
К тому же результату приводит и левая часть равенства (29.3.8):
(п IS21 п') = (п — s) (п I п') = (п s) Fnbnn¦,
так как, согласно (29.3.4), (п \ п') = FпЬпп'. Если G(s) = s+, то из (29.1.3) имеем
(Ф„, Fs+ФЯ')=/2Ї/гя(Фя. а+Фп.) =YTs FaYnbn, п.+х.
С другой стороны, из квантовомеханического определения матричных элементов оператора момента следует:
F^kF-Jk {п I s+ I п') = /(s+/n)(s —/я+1) Ьп; „.+j,
где т = п— S1 т.' = п' — s. Поэтому, используя (29.2.8), получим
(п I s+ I п') = Yn YFnFn-I (2s —1 п.) Ьп< а.+1 =
= Y2sF я VnK я'+і-
Таким образом,
<л I I «'> = (Фя, Fs+Фл.). (29.3.14)
Согласно (29.2.4) отсюда следует:
{n\s+\n') = (On, s+Фя->.
Переходя к комплексно сопряженным величинам и замечая, что
-304 получим
|Л') = (ФЛ> Рв_Фп>). (29.3.15)
Равенства (29.3.13), (29.3.14), (29.3.11) доказывают справедливость формулы (29.3.8) для Q(S) = Si. Таким образом, формула (29.3.8) доказана в общем случае.
4. Теорема о следах. При вычислении статистической суммы, а также различных кинетических коэффициентов приходится находить следы оператора G(s). Мы покажем, что вычисление Sp О (S) сводится к вычислению следа некоторого оператора, построенного с помощью бозе-операторов а, а+.
Согласно формуле (29.3.8)
Sp G (S) = Yi ~ (п I О (S) I п) = (Фя. О (PsP) Фя).
л я
где штрих у суммы означает, что суммирование производится только по физической системе векторов состояний Ф„ (п < 2s). Замечая, что РФп = 0 при п. > 2s, имеем
2'(Ф„. G(PsP) ФЯ)=2(ФЯ, PG (PsP) Ф„)=Sp PG(PsP).
л л
Таким образом,
Sp G (S) = Sp PG (PsP), (29.4.1)
где Si связаны с бозе-операторами а, а+ формулами (29.1.3).
5. Связь между различными реализациями операторов спина. В § 18 (раздел 1) мы построили с помощью бозевских операторов а+, а операторы
Si=VrSsjA--T^e, (29.5.1)
Sfz = — s-\-a+a,
которые формально удовлетворяют перестановочным соотношениям для операторов спинов. С другой стороны, мы ввели операторы
s+ =/2sa + ,
s2 = — s-\-a+a, 20 А. И, Ахиезер 305 которые также удовлетворяют перестановочным соотношениям для операторов спина. Возникает поэтому вопрос, как связаны между собой обе эти системы операторов, о которых можно говорить как о различных реализациях операторов спина с помощью бозевских операторов а +, а.
Воспользуемся для этого формулами (29.2.8), (29.1.4), (29.1.6). Считая, что п, ti' 2s, получим
(Ф„. FlhU + F^On,) = у (Ф„, а+Ф„-) =
= (1 —= вФя.).
(29.5.2)
Замечая далее, что
Y1 -iiIFj- (Ф"' а+фя') = (фл. a+Y
Y1 —аФя-) = (фл. Y
перепишем (29.5.2) в виде
(Фя. Fl>'a+F-l>'ФЯ.) = (ФЛ. 1_^фя.),
(фя,
Мы видим, что операторы s+, s_, sz связаны с операторами s^, s'_, s'z соотношениями
s'± = F'hs±F~'12, s'z=~sz = F42SzF-'12, (29.5.3)
Эти формулы справедливы в подпространстве физических векторов состояний, т. е. при /г ^ 2s. Выше мы получили формулу
(п I О (s) I п') = (Ф„, FG (PsP) фя.),
где O(S) — произвольная функция операторов s. Используя соотношения (29.5.3), мы выразим теперь (п J G (s) | п') через операторы s'.
306 Заметим для этого, что при п, п' < 2s
(Ф„, fg (PsP) on.) = vfj^(Ф„, fv'g (PsP) f-y2on.).
Так как оператор G(PsP) действует в физическом подпространстве векторов состояния, то, согласно (29.5.3),
f4lg (PsP) f~l/' = g (Pf4f~'uP) = g (Ps'Р). Поэтому
* (в|0(д)|в') = (Ф„. G(PsfP)On.). (29.5.4)
У FnFn'
Так как состояния Fn'121 п) являются ортонормированными, то из последней формулы следует соотношение
Sp G (S) = Sp PG (PsfP). (29.5.5)
Формула (29.5.4) показывает, что матричный элемент оператора g(S) между нормированными состояниями fn^2iti), вообще говоря, не равен матричному элементу (Ф„, 0(«')Ф„') и только в пренебрежении промежуточными дополнительными состояниями указанные матричные элементы будут совпадать.
