Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ахиезер А.И. -> "Спиновые волны" -> 86

Спиновые волны - Ахиезер А.И.

Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Пелетминский С.В. Спиновые волны — М.: Наука, 1967. — 368 c.
Скачать (прямая ссылка): spinovievolni1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 101 >> Следующая


-315 Отметим, что Ф^, A2; Jfc3, Jfc4) ф Ф(А3, A4; kv Jfc2)- Благодаря этому оператор M1 (так же как и оператор Md) не является эрмитовым. Неэрмитовость Mj однако не проявляется, если не учитывать дополнительных состояний, вклад которых в статистическую сумму экспоненциально мал при T Tc.

§ 30. Термодинамический потенциал ферромагнетика

1. Разложение термодинамического потенциала по степеням температуры. Полученная в § 20 формула для поправки к термодинамическому потенциалу Q1 справедлива, строго говоря, при 1, так как только в этом случае

оператор Mss можно рассматривать как малое возмущение. Покажем теперь, что если отбросить предположение о величине s, но считать по-прежнему, что Т<^ТС, то мы получим для поправки к термодинамическому потенциалу выражение, отличающееся от выражения (20.4.3) только численным множителем порядка единицы (зависящим от величины спина) [1].

С этой целью мы обратимся к формуле (29.6.9), выражающей статистическую сумму ферромагнетика через операторы испускания и поглощения магнонов и, интересуясь областью низких температур, поставим вопрос о разложении термодинамического потенциала Q,

Q = -j InZ, (30.1.1)

в ряд по степеням TjQc.

Замечая, что M D = М0Л~ M /, где M0 и Mj определяются формулами (29.6.14), (29.6.15), перепишем оператор е~Ч>эсо в виде

_ ? _

о

= - J

О

Под знаком следа можно циклически переставлять операторы; поэтому

Sp =

=- PSpe-^oJ^7+ Sp J rf?'J 4'е®'-^Mie-VmVMl.

о о

-316 Производя в последнем члене интегрирование по частям, получим

re _ )

1 о J

Следовательно, термодинамический потенциал Q может быть представлен в виде

Q = Q0--J-In(I-Pii). (30.1.2)

где

Q0 = -i-lnSpe-?^»

и

/ і 3 — ) \ T1=Z^I 1 - JV(l J \ (30.1.3)

\ 1 О J/o

(скобки (...)0 означают усреднение с равновесной матрицей плотности невзаимодействующих частиц, (А)0 = Sp Ae^ f0o^3fo').

Первое слагаемое в (30.1.2) определяет термодинамический потенциал идеального газа магнонов, а второе — поправки к термодинамическому потенциалу, обусловленные обменным взаимодействием. Интересуясь в дальнейшем только поправками, пропорциональными T5, можно заменить In(1—?r]) на —?rj,

Q = Q0-)-AQ1 AQ = T]. (30.1.4)

Покажем, что в области низких температур, Т<^ТС, справедливо следующее соотношение:

(JW1A1SW1 . . . m,Amm,)0 ~

- T S(Ф'2, • • ¦ Se,AmSf?p 12) B1B2. (30.1.5)

12

где A1, A2, . .. — некоторые операторы, приводящиеся к диагональному виду вместе с числами заполнения пц и Ф12 — вектор состояния, содержащего только два магнона с волновыми векторами A1 и k2:

Фи = а+а+Ф0. at = a(kt).

-317 Чтобы доказать это соотношение заметим, что для вычисления выражения, стоящего в левой части равенства (30.1.5), необходимо найти диагональные матричные элементы:

IXtilWSe1AxM1 ... JMAI

где I {«/}) служит для обозначения вектора состояния ФЯіПі.., Матричный элемент „^ в свою очередь сводится к сумме произведений матричных элементов типа

где Ti1i—числа заполнения в промежуточных состояниях.

Предположим сначала, что M1 = M1- Тогда в силу структуры оператора M1 матричные элементы M1 пропорциональны Yn\ni (яз + 1) (Л4 4 О (мы считаем, что

= - 1, п'2=п2- 1, «3 = «3-j-l- Л4 = ^4+1)- Если,

например, содержит оператор M1 два раза, то он

будет содержать числа заполнения в виде

(WiWM1AMA {я,)> — «1«2 («3 4- 1)(л4+ !)•

При усреднении матричных элементов числа заполнения п{ заменяются их средними значениями «г, определенными распределением Планка

nI = -- Zi = Zsiki).

е ' — 1

Так как по переменным k-t происходит интегрирование, то в области низких температур все множители типа (Iii-1) в матричных элементах могут быть заменены единицей (это значит, что в промежуточных состояниях основную роль играют магноны, волновой вектор которых равен по порядку величины 1 /а, а энергия е~У0). Отсюда следует, что в области низких температур необходимо выбирать такие промежуточные состояния, которые приводят к множителям типа «-)— 1, а не я. Иными словами, схема виртуальных переходов, существенных при T Gc должна иметь следующий вид:

{«!, п.2, к.6, п4, п5, п6, ...}->

->{«! — 1, «2—1, «3+1, «4+1, П5, «6, ...}->

{«J -1, п2- 1, «з, «4, «5+1, «6+1, ...

... -> [пь п2, «з, «4, «5, «6, . . .}.

-318 Таким образом, при вычислении матричного элемента можно считать, что начальное и конечное состояния имеют вид

Ф...0...Л,0...=^(^2^

откуда и следует формула (30.1.5) (множитель xJ1 возникает в этой формуле потому, что в сумме учитываются оба тождественных состояния Ф12 и Ф21).

Формула (30.1.5) выведена в предположении, что Sffl1=Sej.

Поэтому нам нужно выяснить, какой вклад вносит бесконечен

ная сумма 2 ^fl+'1 в левую часть равенства (30.1.5). По-г-2

кажем, что этим вкладом можно пренебречь в области низких температур. Действительно, 2(25-(-2) — магнонным процессам, описываемым гамильтонианом S^e%s+2\ соответствует

статистический вес ^3'2'2,5+2^1^ Отсюда следует, что при T 9С эти процессы не могут приводить к поправкам более
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 101 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed