Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
-315Отметим, что Ф^, A2; Jfc3, Jfc4) ф Ф(А3, A4; kv Jfc2)- Благодаря этому оператор M1 (так же как и оператор Md) не является эрмитовым. Неэрмитовость Mj однако не проявляется, если не учитывать дополнительных состояний, вклад которых в статистическую сумму экспоненциально мал при T Tc.
§ 30. Термодинамический потенциал ферромагнетика
1. Разложение термодинамического потенциала по степеням температуры. Полученная в § 20 формула для поправки к термодинамическому потенциалу Q1 справедлива, строго говоря, при 1, так как только в этом случае
оператор Mss можно рассматривать как малое возмущение. Покажем теперь, что если отбросить предположение о величине s, но считать по-прежнему, что Т<^ТС, то мы получим для поправки к термодинамическому потенциалу выражение, отличающееся от выражения (20.4.3) только численным множителем порядка единицы (зависящим от величины спина) [1].
С этой целью мы обратимся к формуле (29.6.9), выражающей статистическую сумму ферромагнетика через операторы испускания и поглощения магнонов и, интересуясь областью низких температур, поставим вопрос о разложении термодинамического потенциала Q,
Q = -j InZ, (30.1.1)
в ряд по степеням TjQc.
Замечая, что M D = М0Л~ M /, где M0 и Mj определяются формулами (29.6.14), (29.6.15), перепишем оператор е~Ч>эсо в виде
_ ? _
о
= - J
О
Под знаком следа можно циклически переставлять операторы; поэтому
Sp =
=- PSpe-^oJ^7+ Sp J rf?'J 4'е®'-^Mie-VmVMl.
о о
-316Производя в последнем члене интегрирование по частям, получим
re _ )
1 о J
Следовательно, термодинамический потенциал Q может быть представлен в виде
Q = Q0--J-In(I-Pii). (30.1.2)
где
Q0 = -i-lnSpe-?^»
и
/ і 3 — ) \ T1=Z^I 1 - JV(l J \ (30.1.3)
\ 1 О J/o
(скобки (...)0 означают усреднение с равновесной матрицей плотности невзаимодействующих частиц, (А)0 = Sp Ae^ f0o^3fo').
Первое слагаемое в (30.1.2) определяет термодинамический потенциал идеального газа магнонов, а второе — поправки к термодинамическому потенциалу, обусловленные обменным взаимодействием. Интересуясь в дальнейшем только поправками, пропорциональными T5, можно заменить In(1—?r]) на —?rj,
Q = Q0-)-AQ1 AQ = T]. (30.1.4)
Покажем, что в области низких температур, Т<^ТС, справедливо следующее соотношение:
(JW1A1SW1 . . . m,Amm,)0 ~
- T S(Ф'2, • • ¦ Se,AmSf?p 12) B1B2. (30.1.5)
12
где A1, A2, . .. — некоторые операторы, приводящиеся к диагональному виду вместе с числами заполнения пц и Ф12 — вектор состояния, содержащего только два магнона с волновыми векторами A1 и k2:
Фи = а+а+Ф0. at = a(kt).
-317Чтобы доказать это соотношение заметим, что для вычисления выражения, стоящего в левой части равенства (30.1.5), необходимо найти диагональные матричные элементы:
IXtilWSe1AxM1 ... JMAI
где I {«/}) служит для обозначения вектора состояния ФЯіПі.., Матричный элемент „^ в свою очередь сводится к сумме произведений матричных элементов типа
где Ti1i—числа заполнения в промежуточных состояниях.
Предположим сначала, что M1 = M1- Тогда в силу структуры оператора M1 матричные элементы M1 пропорциональны Yn\ni (яз + 1) (Л4 4 О (мы считаем, что
= - 1, п'2=п2- 1, «3 = «3-j-l- Л4 = ^4+1)- Если,
например, содержит оператор M1 два раза, то он
будет содержать числа заполнения в виде
(WiWM1AMA {я,)> — «1«2 («3 4- 1)(л4+ !)•
При усреднении матричных элементов числа заполнения п{ заменяются их средними значениями «г, определенными распределением Планка
nI = -- Zi = Zsiki).
е ' — 1
Так как по переменным k-t происходит интегрирование, то в области низких температур все множители типа (Iii-1) в матричных элементах могут быть заменены единицей (это значит, что в промежуточных состояниях основную роль играют магноны, волновой вектор которых равен по порядку величины 1 /а, а энергия е~У0). Отсюда следует, что в области низких температур необходимо выбирать такие промежуточные состояния, которые приводят к множителям типа «-)— 1, а не я. Иными словами, схема виртуальных переходов, существенных при T Gc должна иметь следующий вид:
{«!, п.2, к.6, п4, п5, п6, ...}->
->{«! — 1, «2—1, «3+1, «4+1, П5, «6, ...}->
{«J -1, п2- 1, «з, «4, «5+1, «6+1, ...
... -> [пь п2, «з, «4, «5, «6, . . .}.
-318Таким образом, при вычислении матричного элемента можно считать, что начальное и конечное состояния имеют вид
Ф...0...Л,0...=^(^2^
откуда и следует формула (30.1.5) (множитель xJ1 возникает в этой формуле потому, что в сумме учитываются оба тождественных состояния Ф12 и Ф21).
Формула (30.1.5) выведена в предположении, что Sffl1=Sej.
Поэтому нам нужно выяснить, какой вклад вносит бесконечен
ная сумма 2 ^fl+'1 в левую часть равенства (30.1.5). По-г-2
кажем, что этим вкладом можно пренебречь в области низких температур. Действительно, 2(25-(-2) — магнонным процессам, описываемым гамильтонианом S^e%s+2\ соответствует
статистический вес ^3'2'2,5+2^1^ Отсюда следует, что при T 9С эти процессы не могут приводить к поправкам более