Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
6. Представление статистической суммы ферромагнетика с помощью бозевских операторов. Теорема о следах может быть применена к вычислению статистической суммы ферромагнетика
Z = Spe-m(si\ р = у. (29.6.1)
где Sf? (S1) — гамильтониан ферромагнетика (здесь выписаны явно аргументы S1, чтобы подчеркнуть, что гамильтониан выражен через операторы проекций спинов отдельных атомов). Согласно этой теореме
Sp ?- т (si) = Sp Ре~т (p7ip), (29.6.2)
где S1 — операторы идеализированного спина 1-го атома, определяемые формулами (29.1.3), и P — оператор проектирования на подпространство векторов физических состояний. При этом под физическими состояниями мы понимаем такие состояния, для которых собственные значения операторов + меньше или равны 2s для каждого узла решетки. Вводя оператор проектирования P1 для I-го узла решетки:
1 1 1 2 s
20* 307 где
fl. JC >0.
можно представить оператор P в виде произведения операторов P1:
P = UP1 і
Мы покажем, что правая часть равенства (29.6.2) может
быть с экспоненциальной точностью порядка е т преобразована к такой форме, которая не будет содержать оператора проектирования Р. Таким образом, мы сведем задачу о вычислении следов матриц, содержащих операторы S1, к вычислению следов матриц, содержащих операторы а + , ар алгебра которых значительно проще алгебры операторов S1.
Выразим прежде всего оператор Ш (PslP) через бозевские операторы af, av предполагая, что гамильтониан ферромагнетика (S1) имеет простейшую форму:
мм=-? S ^29-6-3)
I ^m I
учитывающую только обменное взаимодействие спинов и их взаимодействие со сторонним магнитным полем. В этом случае
Ml(PslP) = -2 ц*1т)\р~Фгтр +
где
Sf =
¦s + a+aL, S- =Y2s (і — s+= Y^sa +
и операторы a + , al удовлетворяют перестановочным соотношениям
[av а+\ = Ьи„ [аг в,,] = [a + . a+] = 0.
Так как оператор sj~ является оператором уничтожения, а S+ — оператором рождения элементарного возбуждения, то,
-308 очевидно,
Ps * P = SzP.
Ttl Ttl
Ps-P = Z-P,
т Tti
Ps-Ps+P = Psr s+P, Іфт.
Im Im
Поэтому выражение для M (PslP) может быть представлено в виде
'(/*,/>) = />(—J S J(Rlm)D>1 +
І Іфт
+1 (?+^?]+S )р¦
Іфт
где
Используя явный вид операторов sj, s+, Sf, получим M(PslP) = P Jf0 + 2|У^> 2 а+а-
S J{*lm)at[l —(29.6.4)
Іфт
Легко убедиться, что последнюю формулу можно представить также в виде
т (PslP) = P jE0 + ZlX0Hf 2 a+O1 -
S -7^K (1 ~^]РЛат-аАр. (29.6.5)
Іфт >
Введем в рассмотрение операторы:
^9d = ^o+ 2 H0Hf ^a+а-і
~s S а+(і-^Щ(ат-аі),
Іфт
MD = E0 + 2HHf%a+ai- (29-6-6)
і
-' S WihI1 Pm^m-Ul).
Іфт
-309 Тогда
&Є (PslP) -= P&eDP = PWd P. (29.6.7)
Легко видеть, что оператор <Sf6D (а также оператор то), действуя на дополнительное состояние, переводит его в дополнительное же состояние. Поэтому
pejeDp=Pm 0, P^0P = PWe0,
и, следовательно, для произвольной функции f (Se) имеют место формулы
/ (Pm0P) = Pf(Se0), f (Pm0P) = Pf(We0).
В частности, согласно этим формулам и формуле (29.6.7), статистическую сумму можно представить в следующих двух эквивалентных видах:
Z = SpPe-fw^
Z = SpPe-p^o. (29.6.8)
Эти формулы являются абсолютно точными, но ими неудобно пользоваться при конкретных вычислениях, так как они содержат оператор проектирования Р, исключающий дополнительные состояния.
Покажем, что с точностью до членов порядка е г во второй из формул (29.6.8) может быть опущен оператор проектирования Р.
Рассмотрим, например, дополнительное состояние:
Ф ...nj... ^7Lr (в^Ф0. Я/>25.
Легко видеть, что это состояние является собственным состоянием оператора т0-
тоФ ... Tij ... =
= \Е0+ 2 [I0HPnj + sn j 2 J(Rem) IФ ... «у ...
(, 1фт )
Поэтому вклад состояния Ф ... . . . > 2s) в Sp е'^о равен по порядку величины e-?y°. При низких температурах этот вклад экспоненциально мал.
-310 2s
Аналогично можно показать, что вклад любых дополнительных состояний при низких температурах экспоненциально
мал и составляет по порядку величины где А >-^y0SY
(у — число ближайших соседей).
Таким образом, с точностью до членов порядка е-Рд,
Z = Spe" ^acD, (29.6.9)
Что касается первой из формул (29.6.8), то в ней нельзя опускать оператор проектирования Р. Действительно, для дополнительных состояний
Ф ... Л ... . П.. . . = , 1 - (а+)Я1 (а + )а г Ф0,
' 1 Ynj-nr-
nj > 2s,
имеем
(Ф ... Л/ ... Лу- .... MDФ ... rij ... Пу ...):
= E0 - 2V0Hf (л, + пг) + sJ(Rjr) X
X M1-4)+^(1
Это выражение, а следовательно, и спектр оператора rMl0 неограничен снизу, так как при п., n.j,->oo
(Ф . . . Hj ... Tij.....5%?0Ф ... Tij ... пг)-> OO.
Поэтому, опуская оператор проектирования в первой формуле (29.6.8), мы получим расходящееся выражение
Spe-P^fl = OO.
Вернемся к формуле (29.6.9). Входящий в нее оператор (Wd (в отличие от оператора S?D) содержит оператор проектирования Pm, что затрудняет непосредственное использование этой формулы. Мы покажем, однако, что этот оператор может быть заменен эквивалентным ему оператором, не содержащим операторов проектирования Pm. Представим с этой целью оператор ШD в виде
