Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
П(і) = Jr S e^(ft)®(ft)и (ft- ')¦ (28-1 -3) ft
где г> (А) — групповая скорость спиновых волн: v w fi dur
Величина и (А, г; представляет собой число магно-
нов с волновым вектором к в элементе объема dr. Поэтому полученная формула, как и следовало ожидать, допускает простую корпускулярную интерпретацию; поток энергии, связанный со спиновыми волнами, представляет собой поток энергий магнонов. Аналогичной формулой, как известно,
283 определяется плотность потока энергии фононов П(/):
IIw =^Yi hapJ (/) Sj (/) Nj (/, г; О. (28.1.4) fj
где Nj (/, г; t) --число фононов с волновым вектором /,
поляризацией / и частотой Opy- (/), в элементе объема dr и s;(/) — групповая скорость фонона,
Omij; (J)
'J^' df ¦ Плотность полного потока энергии в ферромагнетике равна
n=nw-f П((). (28.1.5)
В отсутствие градиента температуры магноны и фононы находятся в равновесии:
"W = -W-' = п»Р]\л -
. г -і * г -і
Тепловой поток в этом случае обращается в нуль. Если же имеется градиент температуры, то числа магнонов и фононов отличаются от равновесных значений и возникает тепловой поток.
; Чтобы вычислить его, мы должны найти функции распределения магнонов и фононов при наличии градиента температуры.
2. Кинетические уравнения для определения функций распределения магнонов и фононов. Кинетические уравнения для определения функций распределения фононов и магнонов в стационарном случае имеют вид
дп dN і
Vw = Ljn, /V), Sj^J- = LlIN, п}, (28.2.1)
где Ls {п, Nj и L1 {N, п\—интегралы столкновений для магнонов и фононов, определенные в предыдущих параграфах.
Функции распределения n(k) и Nj(f) должны, очевидно, приводить к таким же значениям энергии магнонов и фононов, как и равновесные функции n(k) и N}(f). Поэтому они должны удовлетворять, помимо кинетических уравнений,
-284 f
добавочным условиям:
J es(ft) п(ft) dk = J Es(ft) n(k)dk,
2 J Ьыр] (/) Nj (/) df= J] J Ыр} (/) Nj (/) df. (28.2.2)
і і
Если градиент температуры достаточно мал, то функции распределения я (ft) и Nj(f) будут мало отличаться от равновесных функций я (ft) и Nj(f), т. е.
я (ft) = я(ft) + 6я(ft), Nj(/) = Nj(/) + oNj(/),
где I б» (ft) |<с «(ft) и I t>Nj (/) I <С Nj (/). Поэтому П?И вычислении dnjdr и dNjfdr можно заменить «(ft) на «(ft) и Nj (/) на /V,- (/):
V^r= я (ft) (я (ft) + (®V7").
Sj = Nj (f) (Nj (/)+1) (s;V7).
Подстановка этих выражений в кинетические уравнения (28.2.1) приводит к двум неоднородным интегральным уравнениям для определения функций «(ft) и Nj(f). Эти уравнения являются нелинейными, но их можно линеаризовать, так как функции распределения я (ft) и Nj(f) мало отличаются от равновесных функций я (ft) и Nj(f).
С ЭТОЙ целью удобно ввести вместо 6я(Л) bNj(f) функции ф(Л), Фj(f), связанные с 6« (ft) и o/V;(/) соотношениями
6я (ft) = я (ft) (я (ft)+ 1)-^-, ONj (/) = Nj (/) (Nj (/) + 1 .
Учитывая, что равновесные функции я (ft), Nj(f) обращают интегралы столкновений в нуль, получим следующую систему линейных интегральных уравнений для определения функций <p(ft) и Ф;- (/):
Ls |ф, Ф}=я, («і + 1) Y (vI^T),
(28.2.4)
L1 {Ф, ф} = Af1 (/V1 + 1) (S1VT),
-285 где
МФ. Sі ^-(12.34) P(«!Ч- 1)(?+ X
234t
Х(фі + ф2 —Фз —Ф4)0(Є1 + Є2 —83 —Є4)Х XA(k1 + k2-k3-ki-2nT)—{21 4^(12,3) P X
23t
X («і4-1 )(л2 + І^^ + фг —ф3)6(єі + є2 —є3)Х X A (A1 + A2 - A3 - 2лт) + | Ws (23,1) I2 (B1 + 1) л2«3 X X (Фі — Ф2 — Фз) o (єі —є2 — єз)А (Ai — kI — h — 2лт)} — -¦jjll^o .23) I2 (л, + 1) H2N3 (ф, - ф2 - фд) X
23t
X_o(Єї - E1-йсо3)_Л (A1 -A2-Z3-2ят) + | 4^(2,13) |2 X X («! + 1) (N3 + 1) »2 (Фі + Ф3 — ф2) O (E1 + Affl3 - Є2) X
X A (A1+/з — A2- 2ят)}. (28.2.5)
Zz (Ф, ф} = J (21 Yi (12,3) I2 (N1 + 1) (JV2+ 1) X
23t
X N3 (Ф, + Ф2 — Фз) 6 (Sco1 + Affl2 — Аю3) X X А (/і +/2 -/з - 2ят) + 1 (23,1) I2 (N1 + 1) X X N2ZV3 ((D1 — Ф2 — Фд) 6 (Affl1 — Affl2 — Aco3) X
X A (Z1 -/2 -Z3 - 2ят) - ^ J і ір^ (3.2:1) I2(N1 + 1) X
23t
X (п2 + 1)'п3 (Фі + ф2 — Фз) б (AO)1 + Є2 — є3) X
X A (Z1 + A2- A3- 2ят) (28.2.6)
(мы учитываем здесь процессы переброса и суммируем поэтому по векторам обратной решетки т; цифры в аргументах и индексах служат для обозначения индивидуальных состояний магнонов и фононов).
Помимо интегральных уравнений (28.2.4), функции ф(А) Ф• (/) должны, согласно (28.2.2), удовлетворять условиям
2е,(А)»(А)(я(А)+1)ф(А) = 0. * _ (28.2.7)
2 Шрі (/) Nj (/) (Nj (/) + 1 Щ (/) = 0. fj
-286 3. Теплопроводность ферромагнетиков при нидкНх тем» пературах. Перепишем кинетические уравнения (28.2.1) в виде
I0tLf {ф. Ф) + Lf {ф, Ф) = я (я + 1) 4 (WT),
Й„ (28.3.1)
I0lLf> (Ф, ф} + Lf (Ф, ф} = N (N + 1)-^ (sW),
где I0sLPlcp, Ф), I0LiPiФ, ф] и Lf (ф, Ф], Lf1 (Ф, ф] - части интегралов столкновений, описывающие соответственно процессы взаимодействия магнонов и фононов с сохранением и без сохранения квазиимпульса. Так как при несохранении квазиимпульса не могут быть одновременно малыми все компоненты волновых векторов сталкивающихся фононов и магнонов, то при низких температурах (Т <^ Gc, 0О) интегралы столкновений Lf (ф, Ф) и L\u) (Ф, ф) будут, очевидно, экспоненциально малы. Для удобства дальнейших рассуждений мы учитываем это обстоятельство введением больших параметров и стоящих перед интегралами ?(0){ф, Ф) и 40){Ф, Ф}.
