Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ахиезер А.И. -> "Спиновые волны" -> 81

Спиновые волны - Ахиезер А.И.

Ахиезер А.И., Барьяхтар В.Г., Пелетминский С.В. Спиновые волны — М.: Наука, 1967. — 368 c.
Скачать (прямая ссылка): spinovievolni1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 101 >> Следующая


использовали разложение радикала I/ 1--^j- в РЯД п0

степеням a+a^s, которое, строго говоря, справедливо только в случае больших спинов, 1. Кроме того, мы видели,

/afa,

1--- содержащие операторы а + ,

av можно рассматривать как операторы проекций спинов атомов только в подпространстве собственных векторов оператора afa^ls, принадлежащих собственным значениям этого оператора, меньшим или равным единице. Используя известное соотношение

к L

отсюда можно заключить, что развитая теория квантования спиновых волн справедлива при выполнении неравенства

S nk < 2 sN, k

где rik — число магнонов с волновым вектором k и N — общее число атомов тела. Но при таком ограничении, накладываемом на числа заполнения магнопоз, среднее значение

-296 числа магнонов с волновым вектором k, строго говоря, не

определяется формулой Планка:

е т -1

Таким образом, вообще ставится под сомнение возможность применения теории к случаю s—1. В этой связи важное значение приобретает выяснение вопроса о том, какова в действительности область применимости развитой в § 18 теории квантования спиновых волн.

Мы покажем, что единственным критерием ее применимости является условие малости температуры ферромагнетика T по сравнению с его температурой Кюри Tc, что же касается величины спина атомов ферромагнетика, то она может быть произвольной.

Чтобы убедиться в справедливости этих утверждений, мы попытаемся связать операторы рождения и уничтожения магнонов с операторами проекций спина, не прибегая к формулам (18.1.2), содержащим радикалы*).

Напомним прежде всего, что проекции операторов спинов удовлетворяют перестановочным соотношениям (1.3.2)

s±]=±s±, [s+, s_]=2s, (29.1.1)

(индекс /, нумерующий узлы кристаллической решетки, здесь и в дальнейшем, где это возможно, мы опускаем).

Введем операторы at, af, удовлетворяющие перестановочным соотношениям

\av a+] = ou„ [ar e,,] = 0. (29.1.2)

Легко убедиться, что если с помощью операторов а; = а,

= а+ (эти операторы мы будем для сокращения называть бозевскими операторами) построить операторы [2]

s+ = ]/2sa+,

s_ = Y 2s (а — Jj-a+aa), (29.1.3)

sz = — 5 —j— a+a.

*) Излагаемый ниже формализм принадлежит Дайсону [1].

-297 где s— значение спина атома, то они будут удовлетворять тем же перестановочным соотношениям, что и операторы проекций спина s±, sz:

[Sz, 5 + ] = /25[? + ?, a+] = Y^sa+ = S+,

[5г, s_] = Y^s[?+?. ? —~hfa+aa\~

= — Y2s — a+aaj = — s_,

[s+, s_] = 2s j?+, a--a + aaj = — 2s -f- 2a+a = 2sz.

Однако операторы s нельзя отождествить с операторами s. Действительно, собственные значения оператора а+а исчерпываются неотрицательными целыми числами. Поэтому собственные значения оператора sz, равные —s, — s-|- 1.....

не ограничены сверху, в то время как собственные значения оператора sz, равные —s, —s-j-1.....s—1, s, ограничены сверху.

Хотя отождествление операторов s и s невозможно, тем не менее матричные элементы операторов s (будем для сокращения называть операторы s операторами идеализированных спинов) могут быть связаны с матричными элементами операторов спина s. Чтобы установить эту связь, исследуем подробнее свойства операторов s.

Введем в рассмотрение собственные векторы Фя оператора а+а:

а+аФп = пФп, (29.1.4)

где ti может принимать значение /г = 0, 1, 2, ... Мы будем говорить, что Ф„ описывает состояние, в котором присутствует п возбуждений.

Состояние с п = 0 будем называть состоянием вакуума. Вектор этого состояния Ф0 определяется уравнением

аФ0 = 0. (29.1.5)

С помощью вектора состояния вакуума Ф0 можно построить векторы состояний Ф„ с произвольным числом возбуждений. Действительно, используя перестановочные соотношения (29.1.2), легко убедиться, что

Фл =^7L (я+)" OV (29.1.6)

-298 Состояния с n<^.2s мы будем называть физическими, а с га > 2s — дополнительными.

2. Индефинитная метрика. До сих пор мы не делали никаких предположений о связи между операторами а и а + и считали только, что они удовлетворяют перестановочным соотношениям (29.1.2), в остальном же являются независимыми. Предположим теперь, что операторы а и а+ являются эрмитовски сопряженными.

Определение эрмитовского сопряжения требует, как известно, введения метрики в пространстве векторов состояний, т. е. определения скалярного произведения этих векторов.

Легко убедиться, что если операторы а и аь являются эрмитовски сопряженными, то скалярное произведение векторов состояний Ф„ и Ф„', обозначаемое далее через (Ф„, ФП')> будет равно

(Ф„. ФЯ') = 0».л'- (29.2.1)

Действительно, рассмотрим, например, скалярное произведение (Ф1э O1). Согласно (29.1.6)

(O)11 Ф1) = (А+Ф0, я+Ф0).

Но, по определению эрмитовского сопряжения операторов L и L+,

(Ф, LxP) = (L+Ф, ?), (29.2.2)

где Ф и 1F — произвольные векторы состояний. Поэтому ФО = (Ф0, ??+Фо).

Учитывая, что

аа+ф0 = ф0,

и предполагая

(Ф0, Ф0)=1,

получим

(Ф„ Ф0=1.

Аналогичным образом можно убедиться, что равенство (29.2.1) имеет место и при « = «'>• 1.
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 101 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed