Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
использовали разложение радикала I/ 1--^j- в РЯД п0
степеням a+a^s, которое, строго говоря, справедливо только в случае больших спинов, 1. Кроме того, мы видели,
/afa,
1--- содержащие операторы а + ,
av можно рассматривать как операторы проекций спинов атомов только в подпространстве собственных векторов оператора afa^ls, принадлежащих собственным значениям этого оператора, меньшим или равным единице. Используя известное соотношение
к L
отсюда можно заключить, что развитая теория квантования спиновых волн справедлива при выполнении неравенства
S nk < 2 sN, k
где rik — число магнонов с волновым вектором k и N — общее число атомов тела. Но при таком ограничении, накладываемом на числа заполнения магнопоз, среднее значение
-296числа магнонов с волновым вектором k, строго говоря, не
определяется формулой Планка:
е т -1
Таким образом, вообще ставится под сомнение возможность применения теории к случаю s—1. В этой связи важное значение приобретает выяснение вопроса о том, какова в действительности область применимости развитой в § 18 теории квантования спиновых волн.
Мы покажем, что единственным критерием ее применимости является условие малости температуры ферромагнетика T по сравнению с его температурой Кюри Tc, что же касается величины спина атомов ферромагнетика, то она может быть произвольной.
Чтобы убедиться в справедливости этих утверждений, мы попытаемся связать операторы рождения и уничтожения магнонов с операторами проекций спина, не прибегая к формулам (18.1.2), содержащим радикалы*).
Напомним прежде всего, что проекции операторов спинов удовлетворяют перестановочным соотношениям (1.3.2)
s±]=±s±, [s+, s_]=2s, (29.1.1)
(индекс /, нумерующий узлы кристаллической решетки, здесь и в дальнейшем, где это возможно, мы опускаем).
Введем операторы at, af, удовлетворяющие перестановочным соотношениям
\av a+] = ou„ [ar e,,] = 0. (29.1.2)
Легко убедиться, что если с помощью операторов а; = а,
= а+ (эти операторы мы будем для сокращения называть бозевскими операторами) построить операторы [2]
s+ = ]/2sa+,
s_ = Y 2s (а — Jj-a+aa), (29.1.3)
sz = — 5 —j— a+a.
*) Излагаемый ниже формализм принадлежит Дайсону [1].
-297где s— значение спина атома, то они будут удовлетворять тем же перестановочным соотношениям, что и операторы проекций спина s±, sz:
[Sz, 5 + ] = /25[? + ?, a+] = Y^sa+ = S+,
[5г, s_] = Y^s[?+?. ? —~hfa+aa\~
= — Y2s — a+aaj = — s_,
[s+, s_] = 2s j?+, a--a + aaj = — 2s -f- 2a+a = 2sz.
Однако операторы s нельзя отождествить с операторами s. Действительно, собственные значения оператора а+а исчерпываются неотрицательными целыми числами. Поэтому собственные значения оператора sz, равные —s, — s-|- 1.....
не ограничены сверху, в то время как собственные значения оператора sz, равные —s, —s-j-1.....s—1, s, ограничены сверху.
Хотя отождествление операторов s и s невозможно, тем не менее матричные элементы операторов s (будем для сокращения называть операторы s операторами идеализированных спинов) могут быть связаны с матричными элементами операторов спина s. Чтобы установить эту связь, исследуем подробнее свойства операторов s.
Введем в рассмотрение собственные векторы Фя оператора а+а:
а+аФп = пФп, (29.1.4)
где ti может принимать значение /г = 0, 1, 2, ... Мы будем говорить, что Ф„ описывает состояние, в котором присутствует п возбуждений.
Состояние с п = 0 будем называть состоянием вакуума. Вектор этого состояния Ф0 определяется уравнением
аФ0 = 0. (29.1.5)
С помощью вектора состояния вакуума Ф0 можно построить векторы состояний Ф„ с произвольным числом возбуждений. Действительно, используя перестановочные соотношения (29.1.2), легко убедиться, что
Фл =^7L (я+)" OV (29.1.6)
-298Состояния с n<^.2s мы будем называть физическими, а с га > 2s — дополнительными.
2. Индефинитная метрика. До сих пор мы не делали никаких предположений о связи между операторами а и а + и считали только, что они удовлетворяют перестановочным соотношениям (29.1.2), в остальном же являются независимыми. Предположим теперь, что операторы а и а+ являются эрмитовски сопряженными.
Определение эрмитовского сопряжения требует, как известно, введения метрики в пространстве векторов состояний, т. е. определения скалярного произведения этих векторов.
Легко убедиться, что если операторы а и аь являются эрмитовски сопряженными, то скалярное произведение векторов состояний Ф„ и Ф„', обозначаемое далее через (Ф„, ФП')> будет равно
(Ф„. ФЯ') = 0».л'- (29.2.1)
Действительно, рассмотрим, например, скалярное произведение (Ф1э O1). Согласно (29.1.6)
(O)11 Ф1) = (А+Ф0, я+Ф0).
Но, по определению эрмитовского сопряжения операторов L и L+,
(Ф, LxP) = (L+Ф, ?), (29.2.2)
где Ф и 1F — произвольные векторы состояний. Поэтому ФО = (Ф0, ??+Фо).
Учитывая, что
аа+ф0 = ф0,
и предполагая
(Ф0, Ф0)=1,
получим
(Ф„ Ф0=1.
Аналогичным образом можно убедиться, что равенство (29.2.1) имеет место и при « = «'>• 1.