Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Решение уравнений (28.3.1) будем искать в виде разложений по обратным степеням параметров , ф = ф№) -j- ф(1) 4- ..., ф==ф(0)4-ф(1)4- ... Подставляя эти разложения в (28.3.1), получим уравнения
LP {Ф(0), Ф(0)} = 0, LiP {Ф(0), Ф(0)} =0, (28.3.2) содержащие только функции ф<0), Ф(0) и уравнения
й Lp {Ф(1\ 0} 4-103 LP {0, Ф^1 >} 4 LV (ф(0). Ф(0)) =
= n(h+l)^(vVT),
I0Lp^, 0} + I0lLfi 0, ф(1)) 4- Lf {Ф(0), ф(0)) =
= N(N + \) (sVT), (28.3.3)
содержащие как функции ф(1), Ф(1), так и функции ф(0), Ф(0). Рассмотрим сначала уравнения (28.3.2).
-287 Общее решение этой системы уравнений имеет, очевидно,
вид
ф<°) (ft) = Bft + Bzs (ft),
ЯП (28.3.4)
Фf (f) = uf +Bhapj (f),
где^ U1 и В — произвольные постоянные. Учитывая, однако, добавочное условие (28.2.7), легко заключить, что константа В должна равняться нулю: B = 0.
Покажем теперь, как найти постоянные U1. Рассмотрим для этого уравнения (28.3.3). Так как при произвольных
(1) /tl(i)
значениях ф и Qw имеют место соотношения
SKMeV'. + ф(1)}) + 2/(^0){ф(1). 0} +
+ ф(1)}) = о.
Izs(k){tLfW\ + ф(1)!) +
+ ^adpyc^fe^k». о}+^<>. ф(1)}) = о,
то уравнения (28.3.3) будут иметь решение только в том случае, если выполняются соотношения
2 kUf {ф(0', Ф(0)} + ^fLf {Ф(0>, ф(0>} = ft fi
= 2 kh (ft) (n (ft).+ і).Q0 (k) VT) +
ft
+ S /NJ (f) (Nj (/)+1) !mpjT(f) (SjVT),
S e, (ft) Lf {ф(0), Ф) + S h(s)pj (f) L^ {Ф(0). Ф(0)} = 0. ft fi
Второе из этих соотношений, в силу закона сохранения энергии удовлетворяется тождественно при любых ut, первое же соотношение определяет неизвестный вектор и.
Учитывая (28.3.4), перепишем это соотношение в виде
AifUf = ^k~n(n + \) +
ft
+S/w+ fi
-288 где
Aii = ^lki(L{u) [kr. 0}+Z<u){0, fr}) +
+ S/iWB){/i'. 0} +4u,{0. *r}). (28.3.5) fj
Считая ферромагнетик для простоты изотропным, получим отсюда
в = . vr, (28.3.6)
где C1 и Cs — фононная и спиновая теплоемкости и
A = As+Asl +Av
a^1W 21^(12,34)1^ + 1)(^4 DX
1234
X Я3Я4б(«1 +?-?-е4) Л (A1 + A2-A3-A4- 2лт) + + W1S 1 4^12'3) l2("i + 1X"* + l)»3o(e, +? -eg) X
123
X Д (A1+ A2- A3- 2ят),
^ = SI (1,23) р («, + 1) ^2N3 б (E1 - е2 - Ji(O3) X
123
X A (A1 — A2 —/3 — 2лт), (28.3.7)
___Y і чг по Tv і
hV
^ = iSrS I ^ (12-3) P^i + 1)^+ DX
123 _
X N3б (AO)1 + йо)2 — A(O3) A (Z1 +/2 —/3 — 2лт)
(мы учитываем здесь только слагаемые с наименьшими т, отличными от нуля).
Используя формулы (28.2.3), (28.3.4) для «(А) и Nj(Z), получим следующее выражение для теплового потока:
П = S є, (А) п (А) V + S tmpj (/) Nj (/) Sj =
= + (тШАГ>. (28.3.8,
С другой стороны,
П = — VKVT, где Jt — коэффициент теплопроводности. Поэтому
Нт)2 (тс* +тс<)2 (28-3-9)
19 А. И. Ахиезер 289 Оценим величину А. Так как при несохранении квазиимпульса не могут быть одновременно малыми все компоненты квазиимпульсов сталкивающихся частиц, то величины As, Asl, A1 должны содержать экспоненциально малые множители. Действительно, рассмотрим, например, первое слагаемое в выражении для As. Пусть для определенности не малы компоненты вектора A1. Тогда не малой будет энергия магнона E1. Но благодаря наличию б-функции 6(E1 —(— є2 — е3 — е4) отсюда можно заключить, что не малой будет и энергия магнона є3 (или є4). Поэтому в выражении («! + 1)(? + 1) Язл4 экспоненциально малыми будут величины пх и к3. Показатели экспоненциально малых множителей определяются, очевидно, наименьшими значениями величин єі+ ?' ^созЧ_є2 и Aco1-(-Ato2 в соответствующих областях интегрирования. Найти в общем виде эти наименьшие значения нельзя, так как для этого необходимо знать точные законы дисперсии магнонов и фононов в области больших волновых векторов. Можно, однако, утверждать, что по порядку величины наименьшие значения C1 —j— е2 и Aco1 -J- йсо2 равны 0С и 0д. Поэтому As и A1 можно записать в виде
где as, щ, tij., т], и Yj. Yі по порядку величины равны единице.
Если предполагать, что законы дисперсии
справедливы не только при малых aft и а/, но и при aft~ 1, 1, то можно показать, что величины г|5, Ti1 и Yj. Yі будут равны
Величину Asl легко оценить в двух предельных случаях: когда Oc^Od и когда 0c<C;0d'
В первом случае из законов сохранения
е2 +Ato3 = S1, A2 +/3 = A1 (— ят<?г, /г< лт)
(28.3.10)
є, (А) = Qc(akf, соpj (Z) = Sjf
tIj — 4, = Yj = -J-. Y/ = Я.
-290 следует: ftj — k2~ у т. Поэтому є2 + й<й3 — 0С и показатель
экспоненты в выражении для Asl будет равен по порядку величины QJT. Таким образом, если 0C]^>0D, то Asl имеет вид
h IT N1' IT >Л -Y6"
Asl = Vsl
D
где величины asl, T1, T1', у — порядка единицы. Заметим, что если считать квадратичный закон дисперсии для магнонов и линейный закон дисперсии для фононов справедливыми вплоть до k, ят, то величины T1, ті', Y будут равны
T1 = 2. T1'=!. Y = X-
Во втором предельном случае 0С Qd излучение фонона магноном невозможно и поэтому величина Asl равна нулю.
Сравнение полученных формул показывает, что в предельных случаях 0C;»0D и 0C<^0D основной вклад в величину А вносят соответственно A1 и /Is:
