Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
MW ••• A1WI = M^) •¦•
тЛ> ... >ч.
Если ввести компоненту Фурье функции G(1) (ft, т) по переменной т,
P
G(I) (k. Vj = ft J rfTe'v«T0(I) (ft, т),
о (31.2.2)
0(,, (Л, t)= 2 ^-ivntG(I) (Л. v„),
п
2я
где Vn=-J-ZiT1, я== 0, 1, 2 ..., то можно показать, что
G(1) (ft, V,,) = G1 (ft, /v„). (31.2.3)
Справедлива и обратная теорема: по функции Gj1-, (ft, v„) можно восстановить функцию G1 (ft, (о), аналитически продолжив соотношение (31.2.3) в комплексную плоскость
-831 переменной v„ так, чтобы G1 (A, со) не имела особенностей в верхней полуплоскости со.
Если гамильтониан определяется формулой (31.1.4), то функция Грина G(1) (A, vn) может быть представлена совокупностью диаграмм, изображенных на рис. 13. При этом каждой линии диаграммы сопоставляется функция
O0(k, Vj = K(A)-ZVj-1, а каждой вершине диаграммы — амплитуда рассеяния Ф(12, 34)
fin , = G\ і e0Qff,01 і fftQcQff10
Рис. 13.
(функция G0 (A, vn) совпадает с функцией G(1)(A, v„) в пренебрежении взаимодействием между спиновыми волнами).
Функцию Грина G(1) (A, v„) можно, очевидно, представить в виде
= M5 (А) — i\n — S (A, vB) <31-2-4)
где 2 (A, v„) — так называемый массовый оператор, который
Рис. 14.
определяется совокупностью компактных диаграмм, изображенных на рис. 14. Этим диаграммам соответствует следующее выражение для массового оператора:
2(А, vn) = — "(^Fjf J dk'G0 (А', —0)Ф(А, А'; А, А') +
+ 7??" J dk'dk" S ф (*• k'> k"' * + - k") X
п' п"
X Ф(А", A+ A' —A"; A, A') G0 (A', v„OG0 (A", v„.) X XG°(A + A'-A", v„+v„.-v,,-) + .... (31.2.5)
-332 где G0 (ft, -O) = G0 (ft, т)|т^,_0 (мы сохранили в этом ряду по степеням Ф только первые два слагаемых). Замечая, что
о°(й> _о)=«(*)= (Aw- і)-1
и
v„) = n(ft)H-l.
П
легко выполнить в (31.2.5) суммирование по пг и п"\
2 (ft, vn) = Jrfft1^ (ft, fti; ft, Ab) +
gtf 2 *
+ 7?)?- J <*А,<іА2Ф(А, Al! A2, А3)Ф(А2, A3; ft, ft,) X
Пі(І+Дг)(ї+Пз) —"2"з(І+П|) /?j 2 6) ^4 CO2 -(- Шз — W1 — i\n * \ ¦ • t
где
A3 = А —|— Aj — A2, со,- = Coi (Аг), /=1, 2, 3.
Используя формулу (31.2.3) и аналитичность функции G1 (ft, со) в верхней полуплоскости переменной со, получим, согласно (31.2.4),
")=0,, W-O,-до. 0.Г <31-2-7>
где с точностью до второго борцовского приближения (включительно) по Ф величина 2 (А, со) определяется формулой
2(ft, = Jdft1^ (ft, fti: ft, ftj) +
8t»n Г
+ (2я)«й. J ^A1 й?А2Ф(А, fti; ft2, А3)Ф(А2, ft3; ft, A1) X
W "l (1 + n2) (1 + n3) — n7/l7(l + Пі) A CO2+ffl3_Wl_ffl_;o • ^1-z6J
Перейдем теперь к нахождению двухчастичной функции Грина G2 (А, со). Введем для этого двухчастичную температурную функцию Грина
0(2) (A], A2, A3; T1, T2, т3) =
= СrXa+ Оfei. T1) a (A2, т2) в (A3, т3) ?+ (А, о)> (31.2.9)
333 и ее компоненту Фурье переменным T1, T2, T3 о(2) (A1M3; V1V2V3) =
? ? ?
= ^J dxx I dx21 с?т3е( (A1Jfe2Jfe3; T1T2T3),
ООО
где Vi=-^p п{Г. Ясно, что 0(2) k2' т, Т, т) =
= (т)3 E е-^ (V^V3-V1)0 (2){К К кз. V)I V21 Vg)_ illil2il3
Компонента Фурье функции G(2) (A1, A2, A3; т, т, т) по переменной т равна
G(2, (A1, A2, A3; v„) = (-^-)2 2 0(2) (A1, ^2, A3; VflH-V1-V2).
щщ
(31.2.10)
Введем функцию
0(2, (A. Vn)= 2 0(2) (A1, A2, A-^A1-A2; vn). к,
Согласно (31.2.10) имеем 0(2) (A, vn) =
""(т)2 0(2) (^i' A2, AH-A1 — A2; V1, v2, Vn-H1-V2).
(31.2.11)
Так как соотношение (31.2.3) справедливо для произвольных двухвременных функций Грина, то
0(2) (k, vn) = G2(A, ivn). (31.2.12)
Восстановление функции G2 (А, со) по функции Gr2, (A, v„) производится таким же образом, как и восстановление функции G1 (А, со) по функции Gf1, (A, vn).
Функция 0(2) (A1, A2, A3; V1, v2, V3) может быть представлена совокупностью диаграмм, изображенных на рис. 15. Так как амплитуда рассеяния ®(AjA2; A3A4) мала, то из всей совокупности диаграмм рис. 15 достаточно сохранить только те диаграммы, которые приводят к диаграммам, изображенным на рис. 16 (жирной линии соответствует совокупность диаграмм рис. 13).
-334 Из этих диаграмм и формулы (31.2.11) следует, что функцию 0(2) (ft, v„) можно представить в виде
0(2)(*. v„) = A(ft, vn)G(j) (ft, vn), (31.2.13)
где G(j) (ft, vn) — температурная функция Грина, определяемая равенством (31.2.4) и
2vn Г AvlT2 vi Г
ft + ftj- ft2; ft,, ft) G0 (ft,, v{)G0(k2, v2) X X G0 (ft-)-ft, — ft2, VnH-V1-V2). (31.2.14)
Заметим, что учет диаграмм, изображенных на рис. 17, которые не учитывались при выводе формулы (31.2.13), приводит лишь к поправкам порядка Ф2 в выражении для Л (ft, v„).
G(Z) —
G0
й(г) —
Рис. 15.
kv„
+
Рис. 16.
kv„
>=><+Х
Рис. 17.
Выполнив в (31.2.14) суммирование по Ti1, тг2, получим Л (ft, vn) =
Iva
(2 я).
4 V20
X
(2я)6 й — п2п3
W2 -f- CD3 — CD1 — /¦¦V„
з і п(ft) dk
"і (1+"2)(1+Дз) —
dkxdkfl)(kv ft3; ft, ft,) X
A? —- k j— Aj — ^2' (31.2.15) 335 Функция O2(Jfe, со), согласно (31.2.12), (31.2.13), имеет вид G2 (ft, со)= Л (ft, со) G1 (A1, со), (31.2.16)
