Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
A1, 0С»6О, As. ec«0fl.
Поэтому
I CW (4 + C1)^. ec»0D,
X = I 9 / (28.3.12)
\(т*Hcs^cl?-J1-, ес«е.
Из этих формул следует, что при 0С Qd основную роль в теплопроводности ферромагнетика будут играть магноны при произвольных температурах (удовлетворяющих, конечно, условиям T <^QC, Qd). Если же 0С 6d, то вклад магнонов будет главным в области температур t Qd/Qc-
При квадратичном законе дисперсии для магнонов и линейном законе для фононов эти формулы приобретают вид*)
\ T/Мехр(^). ecC0D. j mFs*lha (TIQc)з exp (-^) , Oc» 0О.
*) При оценке роли магнонов в теплопроводности ферромагнетиков мы учитывали только рассеяние магнона магноном. Однако наряду с этим процессом могут также играть роль процессы с участием не четырех, а большего числа магнонов [11].
19* 291 4. Второй звук в ферромагнетиках. В предыдущем разделе мы рассмотрели поведение ферромагнетика, т. е. газа магнонов и фононов в постоянном температурном поле с малым градиентом. Рассмотрим теперь тот случай, когда температурное поле непостоянно и неоднородно:
Г (г, 0 = 7-,,(1 + О (г, 0).
где Ф (г, 0—относительная добавка к температуре, которую мы будем считать малой, | O1I-=^l.
В этом случае мы не можем при определении функций распределения магнонов и фононов считать, что исходными функциями являются планковские равновесные функции. Действительно, обратимся к кинетическим уравнениям для определения функций распределения магнонов и фононов:
gsLf{n, N) + Lf [п, N},
(28.4.1)
I0LflN, п} +L?[N. в}.
где |(s0) L^ {п, N} и 10LfiIN, п)—интегралы столкновений магнонов и фононов без процессов переброса, Lf1 [п, N] и Lf] [N, п) — интегралы столкновений с учетом этих процессов и I/ — формально вводимые большие параметры, определяющие отношение вероятностей столкновений магнонов и фононов с сохранением и без сохранения квазиимпульса. Решение этих уравнений будем искать в виде разложения по обратным степеням больших параметров ^0 и
п = /г<и> + /г<1> + . .., Nj = Nf + Nf + ...
Подставляя эти разложения в (28.4.1), получим уравнения
I0Lf К'- Nms=0,
l°L^{Ni0\ «(0,j = 0, (28-4'2)
-292
дп , дп
dNj
dNi
dt
sJ-
dr определяющие функции ге(о) и Л/(о), и уравнения № Wli- Nai) + Lf U<°>. ЛА<°>) = + , ,
(28 4 3)
К». Л + = ^ +
определяющие функции ге(1> и Л/у'.
Легко видеть, что общее решение уравнений (28.4.2) имеет вид
в,(»Л* ¦ Nf= .»,/Uz '(28-4-4)
е т -I е т -1
где Ui и Г — некоторые, пока произвольные, функции координат и времени (в функцию распределения я(0) не входит химический потенциал, так как интеграл столкновений L.P {я(0), Л/(0)) описывает как процессы с сохранением, так и без сохранения числа магнонов). Замечая, что имеют место соотношения
I0sIkLf + я(1)] = О,
I] I І*Н? {я(1), Л/<») + 1° I Zpj (/) Lf [N1-1K = О ь fj
при произвольных д(1> и Л/у', легко показать, используя (28.4.3), что должны выполняться соотношения
^ j 2 kn(o) (ft) + ^fNj (/) j + ^7 j 2 kvt (ft) д(0) (ft) +
/; J ft
/y (28.4.5)
-t- ( 2 e, (ft)»«» (ft) + 2 йй)р; C/) (/) j +
Ift fj J
+ 2^7(/)(^)/^(/)1 = 0
tf
-293 Эти соотношения, являющиеся условиями разрешимости уравнений (28.4.3), являются одновременно уравнениями, определяющими изменение параметров и и Ф. Замечая, что
Iktt I
можно представить эти уравнения
в виде
(с, + * + І (2C5 + C1) div и = 0.
. , (28.4.6)
Ви + j (2с,+ C1) Vft = - Au,
где cs и C1 — спиновая и фононная теплоемкости, отнесенные к одному атому,
W1Vo0" 1 V „ дЫ, )
и А определяется формулой (28.3.7) (при получении этих уравнений мы считали, что es(k) = Qc(ak)2 и ®Pj(f) = Sjf).
Полагая и, <~ el (Ifr-aOi получим следующее дисперсионное уравнение, связывающее частоту со и волновой вектор q\
(Во + ІАГ^+І*»- %+fe4' } = 0- (28.4.7)
Корни этого уравнения имеют вид
-А
01,2(0) = —«д-.
А (28.4.8)
Щ(Ч) = Ч0 — f-gg-,
где
у— ^s+ C1
3 V^? (Cs -f- сі) '
Первые два из этих корней описывают процесс релаксации поперечных (относительно q) составляющих вектора и, а третий корень определяет частоту и затухание волны, связанной с колебаниями температуры и продольной составляющей вектора и. Эти волны называются вторым звуком. Заметим, что так как вектор и определяет функцию распределения магнонов, то вместе с колебаниями температуры будут происходить колебания магнитного момента и магнитного поля.
-294 Приведем выражение для скорости второго звука v в
0?
двух предельных случаях, когда Т<d-n— и
Dc Oc
В первом случае основной вклад в теплоемкость ферромагнетика и в величину В вносят магноны и [12]
Во втором случае основной вклад в теплоемкость ферромагнетика и в величину В вносят фононы и
® = 4 I/ -H^iTs- (28.4.10) ГЛАВА VIII
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН, ИСПОЛЬЗУЮЩАЯ ИНДЕФИНИТНУЮ МЕТРИКУ
§ 29. Квантование спиновых волн
1. Операторы идеализированных спинов. В § 18 при
установлении связи между операторами спинов атомов и операторами испускания и поглощения магнонов мы существенно
, / atal
