Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
8* 115 при I kjd I C 1
S(O) =-4jtgM°fl° T n-5-^; (12.5.10)
Q0Qi + 2 (AcoO)2 - со2 - /со (і -f Щ
при I kjd І» 1
AngM0Q10
p (и) =
+ (1-0
О^+Ш'У-*2-ш (Q0+Q^) -^L- (!+J7-) 4 KgM0Q0 (Ajr>)2
где
[Q0Q^ + (ЛсоМ)2-ш2-to (Q0 + Q'0) (1+ Jr)]2 '
(12.5.11)
1 .-X-- 2 Yn {gM°y
т' б Yo0 (? + йо) '
(A0M)' ^2 ^gM0 YnQ0 (йо -f- ^o)-
Эти формулы показывают, что учет пространственной дисперсии магнитной проницаемости и скин-зффекта эквивалентен увеличению релаксационной постоянной на величину порядка [14]:
§ 13. Параметрическое возбуждение спиновых волн
1. Уравнения параметрического ферромагнитного резонанса. При изучении однородного ферромагнитного резонанса мы исходили из линеаризованного уравнения движения плотности магнитного момента и пришли поэтому к заключению, что переменное однородное магнитное поле возбуждает только однородные колебания плотности магнитного момента. В действительности в силу нелинейности уравнения движения плотности магнитного момента однородные колебания связаны с неоднородными колебаниями, и поэтому однородное переменное магнитное поле может возбуждать как однородные, так и неоднородные колебания плотности магнитного момента. Это возбуждение носит характер параметрического резонанса
116 И может быть названо параметрическим возбуждением спиновых волн [17, 18].
При рассмотрении параметрического возбуждения спиновых волн для определенности будем считать, что ферромагнетик имеет форму эллипсоида вращения, вдоль оси вращения которого направлены векторы Hf и Mo (мы выберем ее за ось z координатной системы).
Чтобы установить связь между однородными и неоднородными колебаниями плотности магнитного момента, будем исходить из уравнений движения для циркулярных компонент т± = тх ± im, отклонения плотности магнитного момента от равновесного значения т = M — M0,
т± = + ig (MzH± — Нгт±), (13.1.1)
где
H± = Hx ± IHy, Mz = Mo + mz. Так как M2 = Mo, то
Для простоты мы не будем учитывать энергии магнитной анизотропии, т. е. будем считать, что эффективное магнитное поле имеет вид
H = а ISm —)— Л —I— Hf,
где h — переменная составляющая магнитного поля в ферромагнетике и Hf = Hf — 4лЛ/зМо (N3 — размагничивающий коэффициент вдоль оси z). Таким образом,
H ± =аЛт± -\-h±, H2 = а ктг + hz-\- Hf.
Перейдем к пространственным компонентам Фурье отклонения плотности момента от равновесного значения
т (г, t) = ^m (k) elkr, т (k) = -L J т. (г, t)e~ikr dr
и установим уравнения для компонент Фурье m(k) (мы не отмечаем в числе аргументов m(k) времени). При этом следует иметь в виду, что спиновые волны соответствуют маг-нитостатическому приближению, т. е. поле h (г, t) удовлетворяет уравнениям магнитостатики. Отсюда следует, что
117 компоненты Фурье поля A(A) связаны с т (Jfe) соотношениями A(Jfe):
А(е'(0 — AnNm (0), A = O,
где h(e\t) — стороннее переменное поле, которое мы будем предполагать ориентированным перпендикулярно M0 и изменяющимся по закону
А(е' = !(А0<Г'ш<+ A^/a0. A0M0 = O. (13.1.2)
Запишем прежде всего уравнения движения для компонент m+(k) при А = 0. Так как однородные колебания возбуждаются сторонним полем и связь между однородными и неоднородными колебаниями в общем невелика, то естественно исходить для т± (0) из линеаризованного уравнения движения, которое как легко убедиться, имеет вид
Tti ± (0) = ± ig M0hf + Ш(г)т± (0), (13.1.3)
где со(п = gM0 (-д|—(-"InZV11 — частота однородного ферромагнитного резонанса в рассматриваемом случае (N1 — размагничивающий множитель, соответствующий осям л: и у).
Запишем уравнения движения для т± (А) при А Ф 0. Так как неоднородные колебания возбуждаются не непосредственно, а благодаря связи с однородными колебаниями, то в уравнениях движения для т± (А) мы должны удержать не только линейные по т± (А) члены, но и билинейные члены типов т± (0) т± (А). Легко убедиться, что уравнения движения с учетом таких членов имеют вид
т+ (А) = — iAkm+ (А) — iBkm_ (A) + F+ (А),
т-(А) = іAkm_ (А) 1В\т+ (A) -f- F_ (А), (13.1.4)
где
Ak = Q+2ngM0-^-, Bk = 2ngM0^±-
Q^gM0 (аА2 + ^),
_ Um /TVl
A2
F± (А) = ± 2nlg -?- {(т+ (0) m_ (A) + (0) т+ (А)) А± +
¦+¦ т± (0) (А+/ге_ (A) -f А(А))}.
118 Так как величины т± (O) определяются уравнением, в которое не входят величины т± (ft) с ft Ф 0, то уравнения (13.1.4) для m±(k) представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами (пропорциональными т±(0)).
2. Инкремент нарастания амплитуд неоднородных колебаний магнитного момента. Для дальнейшего исследования системы уравнений (13.1.4) удобно перейти от переменных т. (ft), т_ (ft) к нормальным координатам cft, с*_к:
m+(k) = ukck + v\c*_k>
m_(k) = u*kc*_k + vkck, где ___
-__B*k l/Л»-т'<*>
Uk~ У 2as (ft) ¦ \Bk\ У 2cos (ft) '
^ (ft) = VAl-\Bt p.
Тогда уравнение для ck будет иметь вид
ch = — tos(k)cb+u\F+(k)-v\F_(k). (13.2.1)
где
u\F+ (ft) - v\F_ (ft) = Anig -?- j{k + uk + k_v*k) X
X {ukm+ (0) + v\m_ (0)) c*_„ + [{k+vt + k_uk) X
