Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
'И
дср(е)
I fx sin 0 (
-4- COS 0 I —т— COS0--SinO-J5- - J— ,--з-
' \ dr г 09/ г д<р ) г=а дг
Подставляя сюда вместо ф<'>(г) и ф<е)(г) выражения (11.3.4) и (11.3.2), получим
я+ l+mfx/(o) + s~lnPj,m|(s) = 0, (11.3.5)
где
Это условие может выполняться, очевидно, не при произвольных, а только при вполне определенных значениях со, которые и представляют собой частоты неоднородного ферромагнитного резонанса.
7 А. И. Ахиезер 97 Таким образом, мы получили дисперсионное уравнение для определения частот собственных колебаний магнитного момента в ферромагнитном шаре. Корни этого уравнения, которые мы будем обозначать через , зависят от целых чисел п и т., где /я =— п, —я+1, .... п, и не зависят ни от каких непрерывных параметров (р обозначает номер решения). Иными словами, спектр колебаний ферромагнитного шара является дискретным.
Легко видеть, что магнитное поле внутри шара при п=1, т = + 1 является однородным. В этом случае дисперсионное уравнение (11.3.5) имеет единственное решение
/
4^. = ^olP+-Ж
'о
4 it Hf
^мы учли, что в случае сферы Q0 = gM0 ^? з * м
Эта частота, как и следовало ожидать, совпадает с частотой однородного ферромагнитного резонанса шара, определяемой формулой (10.2.4).
При п = 2 (т = 0, ±1, +2) корни дисперсионного уравнения (11.3.5) имеют вид
со?> = у Q0 (Q0 + I^gM0),
CoW = Q0+ ^gM0, (11.3.6)
Можно показать, что при т = п, п—1, независимо от величины п имеется только один корень уравнения (11.3.5)
соМ = Qn+0 т , 4лgMn, т = п, п—1.
пт 0 1 2/1-4-1 0O
Наконец, можно показать, что частоты собственных колебаний шара <nf удовлетворяют неравенству
Kip-QoK 2^o- (11-3-7)
4. Эллипсоид вращения. Уравнение (11.3.5) определяет частоты неоднородного ферромагнитного резонанса для шара. Если ферромагнетик имеет форму эллипсоида вращения, ось которого совпадает с осью легкого намагничения, то, как
98 можно показать, частоты неоднородного ферромагнитного резонанса определяются из дисперсионного уравнения [9]
4 JL In Q„mШ - mv'. (A)2 — In Plm 1 (Г) = 0. (11.4.1)
где
(-
ь2_ 62 г'2—. \а
х1 4- у2 z2
а и b — полуоси эллипсоида ——[--р-=1 (Ь < а) и
Qa(Z) — функции Лежандра второго рода.
Корни этого дисперсионного уравнения являются дискретными и зависят от целых чисел «и от. Частоты собственных колебаний эллипсоида, которые мы будем обозначать через Qf?> (р — служит для обозначения номера решения), так же как и частоты собственных колебаний шара, заключены в интервале (11.3.7).
Прия=1, т=\ дисперсионное уравнение (11.4.1) имеет единственное решение
где (11.4.2)
Эта величина, как можно показать, представляет собой размагничивающий фактор сплюснутого эллипсоида вращения.
Сравнивая формулы (11.4.2) и (10.2.3), мы видим, что корень coft дисперсионного уравнения (11.4.1) является частотой однородного ферромагнитного резонанса эллипсоида вращения.
5. Резонанс на стоячих спиновых волнах. До сих пор
при исследовании собственных колебаний плотности магнитного момента в ограниченных ферромагнетиках мы не учитывали пространственной дисперсии высокочастотной магнитной восприимчивости. Это законно, как следует из (11.1.1), для не слишком малых образцов. Однако условие (11.1.1) нарушается, если размеры образцов достаточно малы. В этом случае при исследовании собственных колебаний магнитного момента необходимо учитывать зависимость тензора
7*
99 высокочастотной магнитной восприимчивости не только от частоты, но и от волнового вектора.
Рассмотрим в качестве примера тонкую ферромагнитную пластинку, причем для простоты будем считать, что ось легкого намагничения и поле H^ направлены перпендикулярно поверхности пластинки и что в плоскости пластинки магнитное поле и магнитный момент однородны, т. е. все величины зависят только от координаты z, перпендикулярной плоскости пластинки [11].
Так как проекция переменной составляющей плотности магнитного момента на ось z равна нулю, то div ttt = 0, и поэтому переменное магнитное поле удовлетворяет уравнениям
div А = 0, rot A = 0, (11.5.1)
справедливым как внутри, так и вне пластинки. Ясно, что эти уравнения, вместе с однородными граничными условиями Л = 0 при z = + оо, имеют только тривиальное решение A = O. Отсюда однако не следует, что ttt = 0. Действительно,
— l(iiit — U z\
считая, что ttt изменяется пропорционально е * « и учитывая соотношение /И = х(А, со) А, мы получим следующее уравнение для определения т:
Х_1(?. со)« = 0, (11.5.2)
которое имеет нетривиальное решение, если
detx_1(A, со) = 0.
Вводя циркулярные компоненты магнитного момента m± = mx + imy и используя выражения (6.1.2), (6.1.3) для со), можно переписать уравнения (11.5.2) в виде
(со — Q (А)) /и+ = О, (co+q(?))ot_ =0,
где
Q (А) = g/Wo (akl + ? — 4 л + -?-).
Мы видим, что частота собственных колебаний пластинки равна
соС» = Q(A) (11.5.3)
и что отлична от нуля только циркулярная компонента магнитного момента т+.
100 Допустимые значения kz могут быть определены из граничных условий. При этом, помимо обычных граничных условий для векторов А и b = h-\- 4пт, которые автоматически выполняются, если A = O и = 0, следует использовать еще граничные условия для магнитного момента, так как при наличии пространственной дисперсии уравнение движения магнитного момента содержит производные по координатам. Эти граничные условия, согласно (5.5.14), имеют вид
