Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
2. Пластинка. Рассмотрим сначала колебания магнитного момента в бесконечной плоскопараллельной пластинке. Граничные условия (11.1.4) и (11.1.5) в этом случае принимают вид
где \ilk = bik -f- Ajvxik и 2L — толщина пластинки (ось z перпендикулярна поверхности пластинки, оси х и у лежат в плоскости пластинки; плоскость Z = 0 проходит через середину пластинки).
Будем искать потенциалы ф(г) и в виде
Ф<0=Ф„, Vft^+ (11.1.5)
ф(Ч_±? = Ч<Ч_±І = О.
=0,
т 1г=±со
,«'> = (V+V) (AeikZz + Be- ik*z).
где А, В, С, D — некоторые константы.
93 Подставляя эти выражения в (11.1.3) и используя граничные условия (11.2.1), получим [10]
/ — 4 ky< ft24 4лCy ft24y ft24у a2) = o,
1 \*-XJC X 1 Луу У I /. ZZ г) • (112 3)
. 9. , kzf - (^A 4 ^y kyf - ft» -
Эти уравнения определяют частоты и волновые векторы собственных магнитостатических колебаний пластинки.
Рассмотрим подробнее ферромагнитную пластинку, предполагая, что ось анизотропии и стороннее магнитное поле Hf направлены перпендикулярно поверхности пластинки (вдоль оси z). В этом случае тензор высокочастотной магнитной восприимчивости у (со) определяется формулами (6.1.2), (6.1.3), подстановка которых в (11.2.3) дает
0)С)г = Q0 (? + 4л§-М0 sin2 О),
____(11.2.4)
k2
где Sln2A1 = -^r, ftj_ = ft*4fty, ft2 = ft* 4^1. Qo =
(fjte) \
-J^--1- P — 4л|. Отсюда следует
ktLigkzL, лл<| kzL |<л|л + |), -kzLc\gkzL, я(п+ -j)<l kzL |<я(я+ О-
kxL =
где л = 0, 1,2,... и
со« =
V^o (? ^JigM0 sin2 kzL), лл<|Лгі|<л(л4І),
/Q0(?VH^M0cos2ftzZ), л (л 4-I)<| kzL |<л(л41).
(11.2.5)
Мы видим, что возможные значения частот собственных колебаний ферромагнитной пластинки заключены в интервале
Q0 < ®(г) < 1/? (? 4 4л^Ж0). (11.2.6)
94 Заметим, что если kzL<^ 1, то
k±L «(A2Z)2.
т. е. степень неоднородности поля вдоль пластинки меньше степени неоднородности поля вдоль нормали к пластинке. При kzL —> 0, частота w« совпадает с частотой ферромагнитного резонанса пластинки, определяемой формулой (10.2.8).
Если стороннее магнитное поле и ось легкого намагничения лежат в плоскости пластинки, то можно показать, что собственные частоты колебаний определяются формулами
to« = VrQ0 (Q0 -Mng-M0 Sin2 О),
2Аг ctg 2 кг1 = 1 (kl — kl- kl - 4 л ^ A2 -M ,
+ q V "о kl)
kI+ kI W \
где sin2^ = ——, Q0 = g"AI0l—^--1-?I (ось л; направлена
вдоль оси анизотропии, а ось z — вдоль нормали к поверхности пластинки). Эти частоты заключены по-прежнему в интервале (11.2.6). При kz—>0 частота to« совпадает с частотой однородного ферромагнитного резонанса пластинки, определяемой формулой (10.2.7) (чтобы убедиться в этом, следует иметь в виду, что при kz—>0 величины kx, ky — kf).
3. Шар. Найдем частоты собственных колебаний плотности магнитного момента в шаре [9]. Потенциалы магнитного поля ф<г)(г) и ф(е,(г) внутри и вне шара удовлетворяют уравнениям (11.1.3)
дх* df Idz* —и> (11.3.1)
Дф(«> =0,
где ось Z направлена вдоль оси анизотропии и р.= 1 + 4л^ ^ ІХхх определяется формулами (6.1.2), (6.1.3), в которых / 4л Hf \1
Потенциал ф(е) магнитного поля вне шара можно взять в виде
Ф(е) = T^Vr ^m' (cos Q)e'lm\ (11.3.2)
где ф и 0 — азимутальный и полярный углы радиус-вектора г, п и т — целые числа и Pjjm| — присоединенные полиномы
95 Лежандра. Этот потенциал, как известно, является решением уравнения Лапласа и удовлетворяет условию на бесконечности (11.1.4).
Для нахождения потенциала ф^ внутри шара заметим, что функция
л
F(r) = elm<v J /(j2-|-pcosa) cos та da,
— л
где р ¦= УX2у2 и f(z)— некоторая произвольная функция — удовлетворяет уравнению Лапласа. Поэтому решение уравнения (11.3.1) для ф('> может быть представлено в виде
я
ф(')(г) = elm(f J / (г [г cos 9 + sin 0 cos a]) cos ma da. -я
Подберем функцию / таким образом, чтобы на поверхности шара выполнялось условие
Ф(г'(г)иа = Ф^(г)|г=а (а — радиус шара), т. е. я
J/ (а [/ Ун cos 0 -j- sin 0 cosa]) cos та da = -^t Р\,т\сos0)
(11.3.3)
(из равенства потенциалов ф(г)(г) и ф(г)(г) на поверхности шара следует непрерывность тангенциальных составляющих магнитного поля).
Легко видеть, что условие (11.3.3) будет выполняться, если в качестве f (г) выбрать функцию
=с"р- Ьт=г)'
где С™ — некоторая постоянная, которую мы определим в дальнейшем. Действительно, используя теорему сложения для полиномов Лежандра
Pn {хх' + V(\ — x2) (і — х'г) cos a) =
= І (-Ц" Й + и'і)! ^ 1W^V) cos ma, т.—-а
96 легко показать, что
л
Г n / / іЛГ cos o + sin 9 cos a \ ,
J p- і -j cos ma da =
=»»<-"¦ ^rfsKr rt"1 ^p'"' [' /?)'
Поэтому граничное условие (11.3.3) будет выполняться, если в качестве С™ выбрать
Cm
п —
1 (-l)m (я 4- I /и I)!
1л an+l (п — \т\)\
Pl
Таким образом, потенциал <p("(r), удовлетворяющий уравнению (11.3.1) и граничному условию (11.3.3), имеет вид
Ф(і
л
/im Imw Г г» (ґ і cos 6 + sin 0 cos а \ ,
(r) = cne ф J P11 —^—7!??-)cos ma
(11.3.4)
Потенциал фС'(г) должен удовлетворять еще второму граничному условию (11.1.5), означающему непрерывность нормальной составляющей магнитной индукции. В сферических координатах это условие имеет вид
