Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
При феноменологическом описании ферромагнетика, которым мы будем пользоваться, естественно предполагать, что эти уравнения имеют «гидродинамический» характер. Иными
136 словами, характеризуя состояние ферромагнетика магнитным моментом единицы массы ц(г, () и вектором упругого смещения элемента ферромагнетика а (г, t), которые рассматриваются как функции эйлеровых координат г и времени t, мы предполагаем, что уравнения движения для ц, и и имеют следующий вид:
dP-a I dv , dv \ ?
(15.1.1)
dt* — v \ dt 1 ' dxt . Здесь vir, t) — скорость элемента ферромагнетика, _ du _ du du
H— эффективное магнитное поле, f—упругая сила, отнесенная к единице массы ферромагнетика, R— релаксационный
член и р—. плотность ферромагнетика. Величины Н, /, R мы
ф. du. dv. будем считать зависящими только от , и
Иными словами, мы считаем, что состояние ферромагнетика однозначно определяется заданием в начальный момент времени распределения магнитного момента ц и векторов смещения а и скорости v.
Из закона сохранения импульса следует, как известно, что сила / может быть представлена в виде
/, = -?-. (15.1.2)
где tik — некоторый тензор, который мы будем называть тензором натяжений.
Чтобы иметь полную систему уравнений, к уравнениям (15.1.1) необходимо добавить еще уравнение непрерывности
-(-div ри = 0 (15.1.3)
и уравнения магнитостатики
, ,J 4я .
rot H = — і, с J
rot ?=-1. І* (15.1.4)
с dt v
div B = O,
137 где В — магнитная индукция, связанная с магнитным моментом ц соотношением
В = H + 4я M = H + 4ярц, и у — плотность тока:
У = о{Е + 1(®Хв)}.' (15.1.5)
(Мы считаем, что источники стороннего магнитного поля отсутствуют, так что Но) = 0, и вместо H^ пользуемся обозначением H.)
Перейдем к определению величин Н, /, R [1]. Введем для этого плотность энергии ферромагнетика w. Она складывается из плотности магнитной энергии H2, плотности кинетической энергии движущихся элементов ферромагнетика
¦g-pV2 и плотности потенциальной энергии ферромагнетика.
Последняя является некоторой функцией 11 -faT- ¦
Отнесенную к единице массы потенциальную энергию ферро-
ф(; OUj \
магнетика мы будем обозначать через F=F^jii, , ^. Таким образом,
—т^+т^+р^. Sb Ш- (151-6)
Дифференцируя плотность энергии W по времени и используя уравнения (15.1.1), (15.1.3), (15.1.4), получим dw _ ( „ dF _,_ 1 д I OF
\ d^ Jl
+ ±(Н Xf),+ HMvk
L t Ulli
где bu = bu~-^ 138 Предположим сначала, что не происходит диссипации энергии, т. е. Я = О, У = 0. В этом случае упругая сила, которую мы будем обозначать через /<0), не должна зависеть от dvJdXfi, и изменение плотности энергии со временем должно сводиться к пространственной дивергенции от плотности потока энергии П(0):
^ + divn<°>=0.
Поэтому мы должны считать выражение в фигурных скобках, стоящее перед V1, равным нулю. Это приводит к сле-
/(0)
1' в отсутствие диссипации
энергии:
,(0) ш. дН , д I dF , dF д\іі\ /1Г . оч
V дхк dxk J
Кроме того, мы должны считать выражение, стоящее перед
da а
— р , равным Н, что приводит к следующему выражению
для эффективного магнитного поля:
\ дхк J
Отсюда, в соответствии с (15.1.7), следует, что плотность потока энергии П(0) равна
-P-^r-?^ + д^Р-
Oxk
+ «,Ift« (-JPO2 + '?/7-^)-р^l. (15.1.10)
I J
Замечая, что в приближении магнитостатики (при а = 0) д
м я
OXi
можно представить ff в виде
АО) _ ulIk
П ' = дхк '
139 где
ли) _ dF . dF дщ
~9ТК 11 ~pJ^T ^'
дхк дхк (15.1.11)
Формулы (15.1.9). (15.1.10), (15.1.11) справедливы в отсутствие диссипации энергии (^ = 0, /? = 0).
При наличии диссипации энергии тензор натяжений будет отличаться от tfk-, мы запишем его в виде
tik=tfi+t'lk, (15.1.12)
где tfk определяется формулой (15.1.11), а t'iu представляет собой некоторый тензор, связанный с диссипацией энергии.
Чтобы определить диссипацию энергии, воспользуемся формулой (15.1.7)
dw <Ш(,0) ~ d\i ( \ ,Л f
(15.1.13)
где /(0), H и П(0) определяются формулами (15.1.8), (15.1.9), (15.1.10). Замечая, что в силу уравнений (15.1.4) и формул (15.1.8), (15.1.11) при ст Ф 0 имеет место равенство
fP+lrUXBb='®.
и учитывая (15.1.13), получим dw . <Ш(-
(15.1.14)
dt 1 dxj 4'
где
П/ = П?))+«»^/ (15.1.15)
k
Вектор П представляет собой плотность потока энергии при наличии диссипации, a q — количество тепла, выделяющееся в единицу времени в единице объема ферромагнетика.
140 (Здесь не учитывается процесс теплопроводности, который мы рассмотрим позже.) Ясно, что величины tik и Ri должны быть такими, чтобы выделяющееся тепло q было положительным
<7>0.
2. Плотность потенциальной энергии ферромагнетика.
До сих пор мы считали, что плотность потенциальной энергии ферромагнетика является произвольной функцией |лг, dnjdx/i, duijdxk. В действительности, однако, эти величины могут входить не произвольным образом, а только в виде определенных комбинаций, обеспечивающих инвариантность функции F относительно произвольных вращений ферромагнетика, при которых происходит поворот как решетки, так и магнитного момента [3].
