Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ш
Рис. 3. параллельная стороннему магнитному полю, лежит в плоскости, ограничивающей ферромагнетик.
В этом случае, независимо от предположения о характере пространственной дисперсии, в ферромагнетике может существовать электромагнитное поле:
ет = {еУ. о, 0), А(1)=(0, 0, /?>),
му A1 =
соответствующее волновому вектору
1 + '
причем
^4 = -Uf'.
Рассмотрим уравнение (12.2.3) и исследуем его решения
вблизи резонанса, т. е. при со — со(г), со(Л) = Vq oQo- Предполагая, что вблизи резонанса выполняется неравенство а| А |2<С!1 (что будет далее оправдано), перепишем уравнение (12.2.3) в виде
?2o2 f 4j^aW (Q0 Qf0) gMoak2 ] = 8лIgM0QJ0. [ Ц (CO) J
Корни этого уравнения имеют вид
ak2 2< ± 2'3 (Q0 +QS) Ц (со)
/І
2яйп
+ » / і " 0
(Q0+ ^)11 (со)
2
+'I5W (12'5Л)
Так как <С! ' и вблизи резонанса | р, (со) | 1, то волновые векторы A2 и A3, как и утверждалось, удовлетворяют условию- a I A2, з I2 "cC! 1 ¦
Заметим, что если релаксационная постоянная 1/т достаточно велика, так что
то выражения для корней A2 и A3 значительно упрощаются:
ша 4яй0
kl « 4лІ —!г [I (CO), k\ « — —-jr-;z-,
2 с2 3 a(Q0+Q^n(CO)
иг где
и мы возвращаемся к случаю, рассмотренному в предыдущем разделе (так как |А3|^>|А2|, то поле, соответствующее волновому вектору A3, практически не проникает в ферромагнетик; поэтому это поле не фигурировало в предыдущем разделе).
Волновым векторам A2 и A3 соответствуют решения уравнений Максвелла (12.2.5):
h{2) = №, Hf, 0), h® = (hf, hf. 0),
Р) = ^ (A21C) Ag) (3) = А(3), (12.5.2)
у ц (A2, со) у ц (A3, со) 4 7
Эти решения, однако, непосредственно не представляют собой магнитных полей, могущих существовать в ферромагнетике, так как они не удовлетворяют граничным условиям для плотности магнитного момента. Последние должны, очевидно, учитываться, если существенна пространственная дисперсия тензора магнитной восприимчивости (в этих условиях уравнения движения магнитного момента содержат вторые производные магнитного момента по пространственным координатам).
Граничные условия, согласно (5.5.14), имеют вид
m — =0. (12.5.3)
ду Jy=O
Этих условий два, так как тг = 0 (мы пренебрегаем дис-сипативными слагаемыми, изменяющими величину плотности магнитного момента).
Граничным условиям (12.5.3) удовлетворяет решение (12.2.2), соответствующее волновому вектору A1, так как для него Ot^=O1 но не удовлетворяют решения (12.5.2), соответствующие волновым векторам A2 и Av Более того, в силу однородности граничных условий им, строго говоря, нельзя удовлетворить и суперпозицией этих решений.
Однако вблизи резонанса граничные условия (12.5.3) не являются независимыми и, как мы покажем, выполнение одного из них автоматически влечет за собой выполнение другого. Действительно, так как т = А, со)Л, то в силу (12.5.2) имеем
^ = 1^(o)-
Д. Pf. Ахиезер U^ Поэтому
_ . Ц2 (fey, а) — ц'' (fey, a) —a)
m{yn ~~ ц' (A y, «)
Ho вблизи резонанса, когда со«со = V-Q0Qo. можно считать, что [i'(kj, со)= и'(О, со(Г)) и ц(Ау, со) = 0 (напомним, что a I р 1). Таким образом, при со « о)(г)
т</>
0, со<г>),
ту>
т. е. отношение mP^jtnSp не зависит от типа решения.
Следует заметить, что при строгом решении задачи дисперсионное уравнение (12.2.3) имеет не два, а три корня и с помощью полей, соответствующих этим решениям, всегда можно удовлетворить граничным условиям (12.5.3).
Найдем теперь суперпозицию полей А(2\ е(2) и Л(3\ е(3\ удовлетворяющую граничным условиям (12.5.3) вблизи резонанса.
Используя первую из формул (12.5.4) и учитывая, что | |i(Ay, со) I 1, имеем
т.
Поэтому граничное условие (12.5.3) имеет вид
(1 — lk2d)n(k2, u)h(? + (l—ik3d)n(k3, (O)A^Iys0 = O.
сЦ
Замечая, что р(Ау, со)=—і ^nJa > получим
(1 - lk2d) k\hf + (1- Ik3fI) k\hf |у=0 = О, откуда в'ытекает соотношение между амплитудами полей
д(3) ___1 ~ ikId A(2)
х k\ 1 —¦ ik3d
Следовательно, согласно (12.5.2),
+ (*, со) ^ _ ^ IzliVe
ц (A2, а) |х (Ag, a) Ag 1 — /A^d
114 Таким образом, искомая суперпозиция полей h = А + А . е = е<2) + удовлетворяющая граничным условиям для момента, имеет вид
где
А'= (а;,А;,о), в'=(о.о,ег\
=(1-4-1^-1 AS?.
я3 1 — гй-jrf ,
//(A2, Ю) |/(А3, и) A2 1-/А/Л (2)
Ay= г----- AJr', (12.5.6)
V Ц(А2, ®) n(A3,ffl) Ag 1 — /А3Й? ,
fc Г A2 1 —
«9----Г-
4яст
1 — ikId \ . (2)
1 — г" A3d / х '
Найдя поля, могущие существовать внутри ферромагнетика, легко определить компоненты тензора поверхностного импеданса вблизи резонанса. Воспользуемся для этого уравнениями
^x ZXA ^z —1- Zxzf1 X'
eZ = ~Zzxhz-^rZzzh х.
Подставляя в них А = А(1), е = е(1\ получим
Zxx = Zl, Zzx=O. (12.5.7)
Подставляя далее A = A', е = е', найдем
A2A3 U2 + A3 + -L]
= W 2 2 -Ta1-¦ ^ = 0- (12-5-8)
Последнюю формулу удобно переписать в виде
^ = (12.5.9)
где р(и) — некоторая функция от частоты, которая может быть определена с помощью формул (12.5.1).
Приведем формулы для Jl (со) в двух предельных случаях I А/ICl и |А/|>1 [161:
