Спиновые волны - Ахиезер А.И.
Скачать (прямая ссылка):
X (ukm+ (0) + v\m_ (0)) — і {k_m + (0) - ft + m _ (0))] cft }.
Найдем входящие сюда величины т±(0). Чтобы не получить бесконечных значений т±(0) при резонансе, мы должны, очевидно, ввести в уравнения движения (13.1.3) для т±(0) затухание спиновых волн, т. е. заменить их уравнениями
т± (0) = + г((й<г> +іу^)т±(0) ± lgM0k(e±\ (13.2.2)
где Y(r> — коэффициент затухания при резонансе. Решение этого уравнения имеет вид
1 { h+e-m Л* Vа'
1 Г к*~еш
,С)
(13.2.3)
119 Остается подставить эти выражения в (13.2.1) и решить пот лученные линейные уравнения с переменными коэффициентами. Удобно положить с этой целью
Ck{t) = Xk{t).e-ta>s«)t.
Мы получим тогда для Xk уравнение вида
* ( -Ш . ~ ia>t\ 2m„(k)t і (а -to/ і "Г lat\
где aft, a*,, ?ft, ?ft—некоторые константы, зависящие от А и пропорциональные амплитуде стороннего магнитного поля Л(<?).
Мы рассмотрим далее наиболее интересный случай, когда о яь 2?(А). В этом случае в последнем уравнении можно сохранить только одно слагаемое, пропорциональное ak:
где, как легко видеть из (13.2.1), (13.2.3),
kZ
ал = 2nig -jp- (А + uk 4- k_v\) gMQ X
xf_ЧН і _^_I (13 2 4)
Ясно, что величина x"lft удовлетворяет уравнению
Xlft = aW ^^ tXk,
используя которое получим окончательно следующее уравнение для определения xft:
**-H (ю - 2o)s (A)) xft — I I2 xft = 0. (13.2.5)
Решение этого уравнения имеет вид
xk(t) = x{l]e%+' 4-4V-', (13.2.6)
где
\2
JL
= - і (f - Oj (А)) ± aft I2 - (-J - Oi (А))2
и х?2) — произвольные постоянные.
Мы видим, что если выполняется неравенство
I CCft I >
120
¦J —<S>s (k) то величина Х+ будет иметь положительную вещественную часть:
Re ^==Tlft(Co) = "/ |aft|2 —(|--со,(А))2, (13.2.7)
т. е. амплитуда колебаний будет экспоненциально нарастать со временем с инкрементом Tift (со).
Этот вывод основан на предположении, что спиновые волны не затухают. Если учитывать их затухание, то нарастание колебаний будет иметь место только в том случае, если инкремент нарастания t|ft(co) превосходит декремент затухания спиновых волн ys(k)
Ъ («О > Y
или
Iaft р > - со, (k)J + Y25 (*)¦ (13.2.8)
Естественно, что экспоненциальный рост амплитуд спиновых волн не будет продолжаться бесконечно долго, так как при достаточно больших амплитудах начнут играть роль не учтенные нами в уравнениях (13.1.4) нелинейные эффекты, которые в конечном счете приведут к некоторому стационарному режиму, который будет характеризоваться определенными амплитудами как однородных, так и неоднородных колебаний плотности магнитного момента. Мы не будем здесь решать этой нелинейной задачи, решение которой дано в работе [17], а ограничимся лишь рассмотрением начальной стадии, когда происходит экспоненциальное нарастание амплитуды колебаний Ak по закону
Ak = Ak (0) ^11A-Vft')
Из выражения (13.2.4) следует, что инкремент нарастания амплитуды спиновой волны t|ft(co) будет особенно велик, если частота стороннего поля со близка к частоте ферромагнитного резонанса co(r). В этом случае
P(A) K+
-
Мо /(ш(Г)_ш)2 + ї(Г)2 ' где
р (k) = 2л (gM0f -?-1 Uh (k+uu + k_vl)
121 и условие (13.2.6) приобретает вид
I Ao+ I > he.
где_____
У {(fflW _ ffl)2 + 2} I (I _ ffli (ft))2 + у2 (ft) J hc - M0 ^ .
(13.2.9)
Мы видим, что возбуждение однородным полем неоднородных колебаний будет происходить в том случае, если амплитуда стороннего переменного магнитного поля превосходит некоторое минимальное критическое значение hc. В условиях резонанса, когда
ш = соС> = 2(0, (А), критическое поле определяется формулой
¦ _ х-/ ^ г<— P (ft
По порядку величины
h v,< у м
с P (ft) и
Ac = AV^*) ^
с 0 gM0 gMa •
Считая -^4^-—'-^-Tjf--Ю-1, получим А,— IO-2M0 « 10 гс,
gM0 gM0 ,
Подставляя в условия резонанса оз('') = 2оз^(А) / H^ \
(о, (А) = _°__
Г( fj(t) \ ( ц(і) \
= gM0 у ^aA2 + -Д- + P + 4л Sin2 G4j (аА2 + + ?j,
получим следующее выражение для величины волнового вектора параметрически возбуждаемой спиновой волны:
aA2 = у//П(2л sin2 AJ2 +1 + ? + 4лЛ/,| —
° Н{1)
— 2л sin2 Ък--?--р.
" M0 н
Отсюда следует, что для параметрического возбуждения спиновых волн должно выполняться условие
^oi+ ?M0 < AnNlM0. (13.2.10)
122 (Напомним, что условием однородного намагничения эллипсоида является неравенство M" + ^M0 = H^0—4 л ^V3 M0 + ?/W0>0.) Мы видим, что наличие большой константы магнитной анизотропии препятствует возможности параметрического возбуждения неоднородных колебаний плотности магнитного момента.
Заметим, что если Я^'-f-?Mo близко к 4лЛ^М0, то возбуждаемые спиновые волны распространяются в узком конусе, ось которого направлена вдоль вектора M0, причем угол раствора этого конуса равен
, / AnN,M0-Hf-VM0
О = 2]/ 10AnM0 • ^13-2-11)
Мы рассмотрели параметрическое возбуждение спиновых волн с частотой as(k) = у К Но возможно также параметрическое возбуждение однородным магнитным полем неоднородных колебаний магнитного момента с частотами Os(A) =
= о>(г), где п и т — произвольные целые числа.
