Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
рассмотрения.
§ 2. Феноменологическая теория поверхностных экситонов без
учета запаздывания
Если толщина приповерхностного слоя, где локализован поверх-
ностный экситон, значительно превышает постоянную решетки кри-
сталла, можно считать, что векторы напряженностей
электрического и магнитного поля, т. е. .векторы Е и %, в
поверхностной волне, имеющей частоту со, в обеих средах (в
вакууме и кристалле; кристалл предполагается немагнитным, в
связи с чем вектор магнитной индукции В = |?) удовлетворяют
уравнениям Максвелла
rotE= - §?, div 0 - О,
(2Л>
Tot§? = Т(r)' div?C = 0,
где вектор электрической индукции, фурье-компоненты которого
связаны с фурье-компонентами вектора Е так же, как и в неогра-
ниченном кристалле, т. е.
0,. = е,7(со, k)Ej. (2.2>
Будем считать, что поверхность кристалла совпадает с пло-
скостью z = О, причем полупространство z > 0 отвечает вакууму
(е/;- = 6ц). В связи с тем, что нас здесь интересуют решения
уравнений Максвелла, убывающие при \z\~* оо, будем искать их
"248
ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ЭКСИТОНОВ
[ГЛ. VIII
з следующем виде:
?(!)_ Ео V
g(2) _ g(2)c^ (/t,x+k2y-ix2z)
(Rex^O, z > 0); (Rex2>0, 2 < 0)
(2,3)
и аналогично для §?(1) и §?<2).
В дальнейшем мы будем использовать соотношения (2,2) для
полей вида (2,3). Такое использование возможно, поскольку
величина е,; (со, к) при малых к является аналитической
функцией к и поэтому может быть аналитически продолжена в
комплексную область к при достаточно малых и2. В то же время
требования малости и2, а также малости kx и k2 следуют из
условия применимости феноменологической электродинамики, в
рамках которой можно рассматривать лишь поля, достаточно
плавно изменяющиеся в пространстве. Отметим также, что
фактически использование аналитического продолжения величины
е,-у (to, к) в комплексную область к лежит в основе теории
распространения электромагнитных волн в слабо поглощающих
средах.
Рассмотрим сначала поверхностные волны при неучете запазды-
вания, т. е. рассмотрим поверхностные волны, отвечающие
поверхностным кулоновским экситонам. В этом случае в
уравнениях Максвелла следует пренебречь слагаемыми,
пропорциональными 1/с, где с - скорость света в пустоте, так
что уравнения (2,1) принимают вид
rotE = 0, divg> = 0, rot §? = 0, div§?=0. (2,4)
Выражения (2,3) удовлетворяют уравнениям (2,4) в обеих средах,
если §? = 0 и, кроме того,
В соотношениях (2,6) е2, е3 - вещественные орты,
направлен
ные вдоль осей координат х, у, г.
[К(1)Е("Г'] = 0, [KV] = 0,
(К^Е^О^О, (к(2)й>(2)) = 0,
(2,5)
где
К( ^ -К W163,
к(2> = /fexex + k2e2 - /к2е3.
(2,6)
Из первых двух уравнений (2,5) следует, что вектор Ео*
колли- неарен вектору К*1*, а вектор EQ2) - вектору К<2). т. е.
*)
(2,7)
*) Поскольку векторы К*1' и К*2' комплексны, эти
электрические поля можно назвать квазипродольными.
§ 2] ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БЕЗ УЧЕТА ЗАПАЗДЫВАНИЯ 249
где С j и С2- некоторые скаляры. Подставляя эти соотношения в
оставшиеся уравнения системы (2,5) и используя (2,2), получаем
следующие соотношения:
ClK[1)K(t)= 0, С2е(7(и, К(2>)= 0. (2,8)
Векторы электрического поля на поверхности раздела должны
удовлетворять граничным условиям
E((1)=Ef, ?^ = (r)(я2>, (2,9)
где индексы tun означают тангенциальную и нормальную соста-
вляющую вектора. Поэтому, в силу соотношений (2,6), (2,7) и
граничного условия для тангенциальных составляющих, находим
С1==С2, (2,10)
так что если в поверхностной волне вектор напряженности
электрического поля отличен от нуля, то последнее имеет место
одновременно в обеих средах.
Поверхностные волны с ЕфО. Для поверхностных волн, у которых
вектор напряженности электрического поля отличен от нуля,
уравнения (2,8) приводят к соотношениям
К{1]К{Р = 0, (2,11а)
ег7(ю, К(2))М2)/С(;?, = 0. (2,116)
В соответствии с (2,6) уравнение (2,11а) (для вакуума) дает
= (2,12)
Что же касается уравнения (2,116), то оно связывает частоту
поверхностного экситона с величинами k2 и и2. Соотношение (2,9)
для нормальных компонент поля, если учесть (2,10), а также
(2,2), имеет следующий вид:
т1==езДсо, К(2)) K(f. (2,13)
Это уравнение вместе с (2,116) и (2,12) позволяет представить
частоту поверхностных экситонов рассматриваемого типа (с Е Ф
0) как функцию kx и k2, т. е. как функцию компонент
"поверхностного" волнового вектора.
Рассмотрим сначала случай изотропной среды и пренебрежем не-
существенной для волн рассматриваемого типа пространственной
дисперсией. В этом случае уравнение (2,116) принимает вид
е (со) К?)К?> = 0,
откуда (при е (со) ф 0)
х2 = УЩ + Ъ!=иг (2,14)
250
ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ЭКСИТОНОВ
[ГЛ. VIII
Используя теперь (2,13) и (2,14), находим, что частота
поверхностного экситона определяется соотношением
е(со) = - 1. (2,15)
То обстоятельство, что частота этого поверхностного экситона
лежит вне области резонанса (где е(со) = со), оправдывает
сделанное выше пренебрежение пространственной дисперсией.
В плазме с
