Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
эти векторы равны по величине, и ограничиться только диполь-
дипольным взаимодействием между молекулами, матричный элемент
мЦа можно представить в следующем виде:
If _ PfPf' 3p{pfj'(n - m)i(n~m)j nm ~ |n - m|3 jn -ml6
(4,5)
§ 4] МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БЕЗ УЧЕТА ЗАПАЗДЫВАНИЯ 263
где
Р/= j <PnPn<rft- (4.6)
р--оператор дипольного момента молекулы п.
Следуя [12], дальнейшие вычисления выполним в континуальном
приближении. Переход к этому приближению осуществляется путем
замены в уравнении (4,2) ш, п->г\ г и
m
где v - объем элементарной ячейки. Поскольку континуальное
приближение пригодно лишь при описании таких состояний,
волновая функция которых слабо изменяется на длине постоянной
решетки, в (4,2) можно пренебречь зависимостью S?y(n) от п и
считать величину Q)f равной ее значению в неограниченном
кристалле. В этом приближении уравнение (4,2) принимает вид
где
V 1] I м/Г(г - r')cr (r')dr' = c?cf (г), (4,7)
(4,8)
/'-1
д2 1 , , 4л , . '
о//' т-о (г)
dxjdxf 3
Это выражение следует из (4,5), если учесть, что
PJi=bifW\ и = (4'9)
Что же касается слагаемого с б (г), то оно добавлено, чтобы
аннулировать в (4,7) [см. также (4,2)] член, где / = /', г=г'.
Так как
з
VI д2 1
Ут2- = -4я6(г), (4,10)
ii dxi r
выражение (4,8) обращается в нуль при f = f и г->0. Использо-
вание выражения (4,8) вместо (4,5) означает, что не
принимаете!, во внимание близкодействие, поскольку в точном
выражении для наряду с (4,8) содержатся также слагаемые, более
быстро, чем (4,8), убывающие с ростом | г J. В континуальном
приближении, имея в виду, что речь идет об изотропной среде,
эти слагаемые можно считать пропорциональными 6 (г)&//•, так
что эффективно они приводят лишь к некоторому изменению
величины Q) j, фигурирующей в выражении для Е [см. (4,4)].
264 ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ЭКСИТОНОВ [ГЛ. VIII
В неограниченном кристалле
с* (г) = с! (k) eikr. (4,11)
Подставляя (4,11) в (4,7), находим, что коэффициенты cf (к)
удовлетворяют системе уравнений
6//')с/'(к) = ^(к>. (4,12)
f
где
W :
4л | р/Зи Для продольных волн
c/(k) = i4k/t (4,13)
так что
w = 2, g>"=(r)5l?iL. (4,14)
Аналогично для поперечных волн находим
с<*(к) = Лец, (1=1, 2; Г = -1, = (4,15)
где ец (11=1, 2) - взаимно ортогональные орты, лежащие в плос-
кости, перпендикулярной направлению к.
Пусть теперь кристалл, ограниченный плоскостью ху, занимает
полупространство z > 0. Учитывая трансляционную симметрию в
направлении осей х и у, решение системы уравнений (4,7) будем
искать в виде
с1 (!•) = </ (z)eik'XJrik%\ (4,16)
Принимая во внимание, что
-Гs -КГ / Т "к i^+J,a, ikr,","<.¦>iI ¦ I,
6(г) = |2л)'2 J dkidk2eiklXJtikiy<
o-v. \z |__ ^ 1 г 1 е-и1г |
дг
a2 дг2
где
| г | __ у#.е-у- ui- 2и6(г), к = Vki-i-kl (4,17)
§ 4] МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ БЕЗ УЧЕТА ЗАПАЗДЫВАНИЯ 265
и используя (4,16), систему уравнений (4,7) можно переписать в
следующем виде:
°° Г 2
YC<i> (z) =/[-? С") (г') + ~ С(2) (г') 4-
О
\г~* 1 С<3)(г0]е-и|г-г' 'dz', (4,18а)
UJ
yC^(z) = J
kc\ . key
1 Л /-"П \ I й
I С<3> (2/)] g~xl г~*'1 (4,186)
X 4 ' ' X
, ik0 \z - z'
(Y - 2) C(3) (2) = J [/?, -1-(tm)-*'1 C(1) ("0 +
0
-\-ik2 1 ^Зр-l C(2) (a/) - hC<3> (z')] r"!"-"11 dz', (4,18b)
где
Решение полученной системы уравнений удобно искать в виде
С<'> (г) = -?-()(*), Сй)(г) = ^-р(г), С(3) (z) = /p(z),
(4,19)
где Р(г) - новая функция z. Подставляя (4,19) в (4,18), вместо
трех уравнений (4,18) получаем
00
YP (*) = 2х J р (г') е~*<¦*'~г~> dz',
(4.20)
(Y - 2) р (z) = - 2и J Р(г')е-И(2'"г)
г
Из этих уравнений следует, что при р(г)=?0 будет Y-1. т. е-
что для искомого решения [см. также (4,4)]
y^Wll, ?=де/+^/+гщ?л^ (4>21)
Этот результат находится в согласии с феноменологической
теорией, в соответствии с которой частота поверхностного
экситона с ?#0 в кубическом кристалле определяется из
уравнения е(со)=- 1.
266 ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТНЫХ ЭКСИТОНОВ [ГЛ. VIII
Действительно, так как
е(со):
(В2 - (Ом
(в2 - со -
где Лео, и йсо - энергии продольного и поперечного объемного
экситона [см. (4,14) и (4,15)] в неограниченном кристалле, из
уравнения е (со) = - 1 находим
"пов = J ("| + (r)l). ^пов = J (^1 +¦ ^||) = 2Ч: 1 '
что согласуется с (4,21).
Дифференцируя по z любое из уравнений (4,20), находим, что
функция р(z) удовлетворяет уравнению
-Ё1-_ив dz '
Следовательно,
P(z)=Ae~(tm), (4,22)
где постоянная А может быть определена из условия нормировки
функции XF [см. (4,1)]. В соответствии с этим условием
<4f|4f> = S|ci |2= 1. (4,23)
п/
Поэтому, используя (4,16), (4,19) и (4,22), находим, что при
на <$^1
V жк ¦ <4'24)
где а - постоянная решетки, A\lV2- число элементарных ячеек в
плоскости ху кристалла. Отметим, что при kv k2-.>0 коэффициенты
c*(z)->0 [см. (4,18), (4,19) и (4,24)]. Это означает, что при
сделанных допущениях не возникают поверхностные состояния с kx=
= k2 = 0 [при этом также и *->0; см. (4,17)]. Ниже будет
показано, что при k1 = k2 = 0 возникновение состояний
поверхностных экситонов существенно зависит от изменения
