Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
(2.19)
где п — четное для четных резонансов и нечетное для нечетных. Эта формула позволяет сформулировать простое правило существования резонанса. Внутри потенциальной ямы волновая функция имеет вид волны с длиной А = 2-к/х. В левой части (2.19) стоит отношение ширины потенциальной ямы 2а и половины длины волны. Таким образом, резонанс наблюдается при таких энергиях E частицы, при которых на ширине 2а прямоугольной потенциальной ямы (или прямоугольного барьера, как будет показано в разд. 3.3) укладывается целое число длин полуволн.
Исследуем поведение волновых функций при резонансе более подробно на примере потенциальной ямы с параметром Q = 47г2/5. Начнем с четных резонансов и рассмотрим первый из них, т.е. возьмем в формуле (2.19) первое (не считая нуля) четное число п=2. Для выбранного параметра ямы Q этот резонанс имеет место при энергии E = Ei = Vq/4 (см. рис. 11). При этой энергии существуют два ре- 2.1. Отрицательные энергии
51
тения: четное (толстая линия) и нечетное (тонкая линия), которые изображены на рис. 13.
Пунктирные линии показывают границы ямы (х = ±о). На рис. 13 видно, что для обоих решений на ширине ямы укладывается две (п = 2) полуволны. Однако только для одного решения (четного) амплитуда волны внутри ямы оказывается максимальной и совпадает с амплитудой решения вне ямы. При этом амплитуда второго решения (нечетного) внутри ямы почти в два раза меньше, чем вне ямы. Это как раз показывает, почему данный резонанс называется четным.
5ф_ ф+ Ф(х)
Рис. 14. Второй нечетный резонанс.
На рис. 14 показаны четная (толстая линия) и нечетная (тонкая линия) волновые функции для ямы с параметром Q = 47г2/5 (та же яма, что и на рис. 11 и рис. 13) при энергии E = E2 = 29Vo/16, равной энергии второго (I = 1) нечетного (п = 2? + 1 = 3) резонанса в этой яме. Энергия второго нечетного резонанса соответствует 52
Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер
n = 3, и она больше, чем энергия первого четного резонанса, которая соответствует п = 2. Первый (? = 0) нечетный (n = 2? + 1 = 1) резонанс в рассматриваемой яме попадает в область отрицательных энергий, при n = 1 не выполняется условие (2.15).
Из рис. 14 видно, что амплитуда нечетного решения внутри ямы такая же, как и вне ямы. Амплитуда четного решения в яме меньше, чем вне ямы. Однако внутри ямы амплитуды различаются меньше, чем таковые на рис. 13. Это связано с тем, что энергия нечетного резонанса при n = 3 больше, чем энергия четного резонанса при п = 2.
На рис. 15 показаны четная и нечетная волновые функции при энергии E = E'= 61Vo/64, которая не совпадает ни с одним резонансным уровнем (см. рис. 11) и при которой амплитуды четного и нечетного решений внутри ямы совпадают (ха = 7г/4).
¦ф- Ip+ -ф{х)
вым четным и вторым нечетным резонансами.
С ростом энергии амплитуда решения в яме приближается к амплитуде решения вне ямы при любом промежуточном значении энергии, расположенном между резонансными уровнями. Таким образом резонанс отчетливо проявляется при малых энергиях и он почти не заметен при больших энергиях.
2.3. Одномерная 5-образная потенциальная яма
Полезным модельным потенциалом является прямоугольная потенциальная яма с малой шириной 2а и большой глубиной Vo, причем такой, что площадь ямы Cl = 2аVo, которую принято называть мощностью ямы, является конечной величиной. Предельным случаем такой ямы при а —> 0 и Vo —> оо при условии Cl = const, является 2.3. Одномерная S-образная потенциальная яма
53
й-образный потенциал
V(ar) = -Пё{х), (2.20)
который оказывается очень удобным при рассмотрении разнообразных модельных задач. Потенциал вида (2.20) принято называть потенциалом нулевого радиуса. Такие потенциалы благодаря своим специфическим свойствам широко применяются в большом числе явно решаемых задач физики и математики.
й-образная потенциальная яма как предельный случай прямоугольной ямы
Рассмотрим сначала случай узкой глубокой потенциальной ямы с конечной площадью. Запишем выражение для параметра Q следующим образом:
2 ш0 2 т0
Q = ^Vo =
Отсюда видно, что Q есть малая величина порядка а и при достаточно малых а величина Q меньше 7г2/4. В такой яме (см. рис. 4 и рис. 5) существует только одно связанное состояние, и это состояние является четным.
Найдем приближенно энергию и волновую функцию этого состояния. Для определения энергии нам необходимо решить систему уравнений (2.4), (2.5)
V = f tgf, V2 + е = Q-
Здесь Q — малая величина порядка а. Из второго уравнения следует, что г} и ? — также малые величины. Однако если ? есть малая величина, то ?tg? ss ?2. Поэтому из первого уравнения следует, что Tj и ?2. Подставляя во второе уравнение ц вместо ?2 и пренебрегая Jj2 по сравнению с г), получаем
г] и Q.
Поскольку г] = аа, 54
Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер
E = --
2шп
2Н2 *
Отсюда видно, что положение уровня энергии определяется мощностью ямы Cl = 2аVr01 а не значениями ширины 2а и глубины Vo ямы в отдельности.
Квадратично интегрируемая волновая функция (см. разд. 2.1) рассматриваемого состояния имеет вид
