Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абаренков И.В. -> "Простейшие модели в квантовой механике" -> 15

Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.

Абаренков И.В., Загуляев С.В. Простейшие модели в квантовой механике — Питер, 2004. — 128 c.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка): prosteyshiemodelivkvantovoymehan2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 32 >> Следующая


(2.19)

где п — четное для четных резонансов и нечетное для нечетных. Эта формула позволяет сформулировать простое правило существования резонанса. Внутри потенциальной ямы волновая функция имеет вид волны с длиной А = 2-к/х. В левой части (2.19) стоит отношение ширины потенциальной ямы 2а и половины длины волны. Таким образом, резонанс наблюдается при таких энергиях E частицы, при которых на ширине 2а прямоугольной потенциальной ямы (или прямоугольного барьера, как будет показано в разд. 3.3) укладывается целое число длин полуволн.

Исследуем поведение волновых функций при резонансе более подробно на примере потенциальной ямы с параметром Q = 47г2/5. Начнем с четных резонансов и рассмотрим первый из них, т.е. возьмем в формуле (2.19) первое (не считая нуля) четное число п=2. Для выбранного параметра ямы Q этот резонанс имеет место при энергии E = Ei = Vq/4 (см. рис. 11). При этой энергии существуют два ре- 2.1. Отрицательные энергии

51

тения: четное (толстая линия) и нечетное (тонкая линия), которые изображены на рис. 13.



Пунктирные линии показывают границы ямы (х = ±о). На рис. 13 видно, что для обоих решений на ширине ямы укладывается две (п = 2) полуволны. Однако только для одного решения (четного) амплитуда волны внутри ямы оказывается максимальной и совпадает с амплитудой решения вне ямы. При этом амплитуда второго решения (нечетного) внутри ямы почти в два раза меньше, чем вне ямы. Это как раз показывает, почему данный резонанс называется четным.

5ф_ ф+ Ф(х)

Рис. 14. Второй нечетный резонанс.

На рис. 14 показаны четная (толстая линия) и нечетная (тонкая линия) волновые функции для ямы с параметром Q = 47г2/5 (та же яма, что и на рис. 11 и рис. 13) при энергии E = E2 = 29Vo/16, равной энергии второго (I = 1) нечетного (п = 2? + 1 = 3) резонанса в этой яме. Энергия второго нечетного резонанса соответствует 52

Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер

n = 3, и она больше, чем энергия первого четного резонанса, которая соответствует п = 2. Первый (? = 0) нечетный (n = 2? + 1 = 1) резонанс в рассматриваемой яме попадает в область отрицательных энергий, при n = 1 не выполняется условие (2.15).

Из рис. 14 видно, что амплитуда нечетного решения внутри ямы такая же, как и вне ямы. Амплитуда четного решения в яме меньше, чем вне ямы. Однако внутри ямы амплитуды различаются меньше, чем таковые на рис. 13. Это связано с тем, что энергия нечетного резонанса при n = 3 больше, чем энергия четного резонанса при п = 2.

На рис. 15 показаны четная и нечетная волновые функции при энергии E = E'= 61Vo/64, которая не совпадает ни с одним резонансным уровнем (см. рис. 11) и при которой амплитуды четного и нечетного решений внутри ямы совпадают (ха = 7г/4).

¦ф- Ip+ -ф{х)

вым четным и вторым нечетным резонансами.

С ростом энергии амплитуда решения в яме приближается к амплитуде решения вне ямы при любом промежуточном значении энергии, расположенном между резонансными уровнями. Таким образом резонанс отчетливо проявляется при малых энергиях и он почти не заметен при больших энергиях.

2.3. Одномерная 5-образная потенциальная яма

Полезным модельным потенциалом является прямоугольная потенциальная яма с малой шириной 2а и большой глубиной Vo, причем такой, что площадь ямы Cl = 2аVo, которую принято называть мощностью ямы, является конечной величиной. Предельным случаем такой ямы при а —> 0 и Vo —> оо при условии Cl = const, является 2.3. Одномерная S-образная потенциальная яма

53

й-образный потенциал

V(ar) = -Пё{х), (2.20)

который оказывается очень удобным при рассмотрении разнообразных модельных задач. Потенциал вида (2.20) принято называть потенциалом нулевого радиуса. Такие потенциалы благодаря своим специфическим свойствам широко применяются в большом числе явно решаемых задач физики и математики.

й-образная потенциальная яма как предельный случай прямоугольной ямы

Рассмотрим сначала случай узкой глубокой потенциальной ямы с конечной площадью. Запишем выражение для параметра Q следующим образом:

2 ш0 2 т0

Q = ^Vo =

Отсюда видно, что Q есть малая величина порядка а и при достаточно малых а величина Q меньше 7г2/4. В такой яме (см. рис. 4 и рис. 5) существует только одно связанное состояние, и это состояние является четным.

Найдем приближенно энергию и волновую функцию этого состояния. Для определения энергии нам необходимо решить систему уравнений (2.4), (2.5)

V = f tgf, V2 + е = Q-

Здесь Q — малая величина порядка а. Из второго уравнения следует, что г} и ? — также малые величины. Однако если ? есть малая величина, то ?tg? ss ?2. Поэтому из первого уравнения следует, что Tj и ?2. Подставляя во второе уравнение ц вместо ?2 и пренебрегая Jj2 по сравнению с г), получаем

г] и Q.

Поскольку г] = аа, 54

Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер

E = --

2шп

2Н2 *

Отсюда видно, что положение уровня энергии определяется мощностью ямы Cl = 2аVr01 а не значениями ширины 2а и глубины Vo ямы в отдельности.

Квадратично интегрируемая волновая функция (см. разд. 2.1) рассматриваемого состояния имеет вид
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 32 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed