Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абаренков И.В. -> "Простейшие модели в квантовой механике" -> 17

Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.

Абаренков И.В., Загуляев С.В. Простейшие модели в квантовой механике — Питер, 2004. — 128 c.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка): prosteyshiemodelivkvantovoymehan2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 32 >> Следующая


oo

<р(к) = -^= [ е~ікхф(х)сІх. y/2-її J

-OO

Помимо волновой функции необходимо преобразовать и операторы в уравнении Шредингера. Оператор кинетической энергии есть дифференциальный оператор. Однако он может быть представлен в 58

Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер

виде р2/(2шо) = Й2/г2/(2то), так как любой оператор в своем собственном представлении есть оператор умножения на независимую переменную, в частности, оператор импульса в импульсном представлении есть оператор умножения на переменную р = hk. Оператор потенциальной энергии является оператором умножения и входит в уравнение в произведении с волновой функцией, а трансформанта Фурье F(k) от произведения функций F(x) = V(x)tp(x) есть свертка:

oo

F(k) = ^f= J W(k-k'Mk')dk',

-OO

где W(k) представляет собой фурье-образ потенциала V(x):

OO

W(к) = -^=T [ e~tkxV(x)dx. \J2TT J

— oo

В нашем случае потенциал V(x) имеет вид й-функции, и потому

oo

W(к) = --^= J e~ikx8{x)dx = - П

V5F

есть константа. Таким образом, приходим к следующему виду уравнения Шредингера в импульсном пространстве:

Н2к2 2шо

oo

m -^l (p(k')dk' = E tp(k).

Для функции ір(к) это уравнение является интегральным и может быть записано в виде

oo

(к2 + а2Ык) = ^^ J (p(k')dk'.

— oo

Здесь мы использовали формулу E = —h2a2/(2m0). Данное интегральное уравнение решается элементарно. Правая его часть не зависит от к. Следовательно,

v{k) = WTrf' 2.3. Одномерная S-образная потенциальная яма

59

где С — произвольная константа. Однако не при всяком а написанная функция будет решением интегрального уравнения. Действительно, подставляя эту функцию в уравнение и сокращая на константу С, получаем уравнение

oo

_ ЪпоП_ Г 1

H2 2тг J к2 + а2

для определения величины а. Стоящий в этой формуле интеграл равен 7г/а, и поэтому для а, как и следовало ожидать, получаем уже известное выражение

то

Коэффициент С в волновой функции найдем из условия нормировки

<р2(к) dk = 1.

Отсюда нормированная на единицу волновая функция имеет вид

oo /

= № 1

к2 +

а'

Легко проверить, что полученная функция действительно есть фурье-преобразование функции (2.22).

В рассмотренном случае уравнение Шредингера в координатном и импульсном представлениях решается одинаково легко. Однако для более сложных потенциалов может оказаться проще решать уравнение в импульсном представлении. Кроме того, если точное решение уравнения Шредингера невозможно, то именно интегральная форма уравнения позволяет разрабатывать приближенные методы решения.

Подводя итог рассмотрению й-образной потенциальной ямы, нельзя не отметить, что и в трехмерном случае потенциал нулевого радиуса обладает единственным связанным состоянием, положение которого целиком определяется мощностью ямы. Подобные потенциалы являются простейшим частным случаем так называемых 60

Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер

однопараметрических модельных псевдопотенциалов. Последние получили широкое распространение в теории рассеяния, теории молекул и твердого тела, благодаря той легкости, с которой они позволяют конструировать дискретный спектр модельной задачи. Глава 3.

Прямоугольный потенциальный барьер 3.1. Модель

Рассмотрим теперь стационарные состояния частицы с массой то, движущейся в поле потенциального барьера вида (см. рис. 17)

'V(x)
I II III
і-

V(x) = <

0, X < -а,
Vo, Nl < а,
0, X > а.

-а 0 а

Рис. 17. Прямоугольный потенциальный барьер.

Здесь а — полуширина, a Vo — высота потенциального барьера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид

сР_ dx2

+ Hp» (Я _ Kfz))] ф(х)=0.

В данной задаче потенциал ограничен снизу нулем, а следовательно, и спектр энергии ограничен снизу и расположен на положительной полуоси энергии, причем дискретного спектра в этом случае нет, спектр сплошной. Как и в задаче о потенциальной яме, разобьем ось X на три области:

I: X < —а, II: — а < х < а, III: х > а

и представим волновую функцию в виде

' Vi(^)1 X Є I, •ф(х) = i>2(x), X Є II, . ірз (х), X ? III. 62

Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер

Тогда уравнение Шредингера для стационарного состояния можно записать в виде

* + M*) = О,

dx2 d?

H2 2mo

dx2 + H2

[Е - V0)

Mx) = о,

d2 2ш0 „ і , , . ЗІ? + тгЕ\Mx) = 0,

dx2

H2

ж Є I1 X Є II, X Є III.

Поскольку волновая функция должна быть непрерывной вместе с первой производной, функции Ipi, ip2 и чрз оказываются связанными друг с другом условиями сшивания

(3.1)

ipi(-a) = M~a), Ma) = Ma),

ip'i(-a) = ф'2(-а), ф'2(а) = ф'3(а).

3.2. Энергия ниже высоты барьера

Рассмотрим значения энергии в интервале 0 < E < V0. Введем обозначения

к =

2шо

~W

E > O1

a =

2mo

(V0 — Е) >0,

(3.2)

где, как и раньше, берется арифметическое значение квадратного корня. Эту задачу можно решать так, как это было сделано для прямоугольной потенциальной ямы, заменив Vo —> -V0. При этом можно использовать прежнее значение параметра Q
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 32 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed