Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
39
ле — Vo < E < 0. Квантовая частица может находиться только на одном из конечного числа N (2.8) дискретных уровней энергии.
Ркл(ж)
-a 0 а -а 0
Рис. 6. Классическая плотность ве- Рис. 7. Квантовая плотность веро-роятности. ятности. Первое четное состояние.
Второе отличие касается плотности вероятности найти частицу в данной точке. Для классической частицы, согласно формуле (1.3), плотность вероятности найти частицу в любой точке вне ямы равна нулю. Плотность же вероятности найти частицу в любой точке внутри ямы постоянна, как это изображено на рис. 6. Для квантовой частицы плотность вероятности найти частицу в какой-нибудь точке внутри ямы непостоянна, как это видно из рис. 7 и рис. 8, на которых изображен квадрат модуля волновой функции частицы, находящейся на первом четном (рис. 7) и первом нечетном (рис. 8) уровнях.
Ркв(х)
Ркв (ж)
Рис. 8. Квантовая плотность веро- ,,
„ Рис. 9. Квантовая
ятности. Первое нечетное состоя-
плотность веро-
ятности. Яма малой ширины.
Кроме того, как видно из рис. 7 и рис. 8, у квантовой частицы вероятность оказаться вне ямы отлична от нуля. Это особенно заметно, если яма такова, что первый четный уровень лежит вблизи нуля. Такая ситуация может иметь место, если яма имеет конечную 40
Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер
глубину, но очень малую ширину. Распределение плотности вероятности нахождения частицы в такой яме показано на рис. 9. Видно, что в этом случае вероятность найти частицу вне ямы гораздо больше, чем вероятность обнаружить ее внутри ямы. Классическая частица даже с малой отрицательной энергией будет всегда находиться внутри ямы независимо от ширины ямы.
Яма с бесконечными стенками
В тех случаях когда глубина ямы велика, удобно перенести начало отсчета энергии на дно ямы, как это показано на рис. 10. Тогда,
выражение для энергии f-ro
уровня преобразуется к виду
i
-а
V(x)
Ее =
H2 2тпо
0
а
¦ x
Рис. 10. Прямоугольная потенциальная яма Начало отсчета энергии сдвинуто на дно ямы.
где & — координата точки пересечения в первом квадранте окружности радиусом у/Ц с ветвью кривой ?tg? (четные решения) или —? ctg ? (нечетные решения). Теперь можно рассмотреть яму с бесконечными стенками,
устремив Vo к бесконечности. При этом радиус окружности будет также стремиться к бесконечности. Для четных решений, как видно из рис. 4, координаты точек пересечения в пределе имеют вид
7Г
u = - + (t - IK
= 1,2,
Аналогично для нечетных решений (рис. 5) в пределе получим ?f = ?тг, ?=1,2,...
Обе эти формулы можно объединить, написав
Zn = 2И>
2? + 1 (для четных решений)
21
(для нечетных решений). 2.1. Отрицательные энергии
41
Отсюда для энергии следует выражение:
^=2^(1)2"2' п = 1'2'- (2-9)
Особенностью спектра является то, что по мере увеличения энергии расстояние между уровнями увеличивается:
и стремится к бесконечности при неограниченном увеличении п.
Сравнивая положение уровней энергии в прямоугольной потенциальной яме бесконечной глубины и положение соответствующих уровней энергии в яме конечной глубины (и той же ширины), видим, что в конечной яме уровни располагаются систематически ниже, чем уровни той же четности в яме с бесконечными стенками.
2.2. Положительные энергии
Решение уравнения. Коэффициенты прохождения и отражения
Рассмотрим теперь состояния с положительной энергией E > 0. Введем обозначения
к = ^E > 0, ^(V0+ Е) > 0, (2.10)
где, как и раньше, берется арифметическое значение квадратного корня. Напишем общее решение для каждой из трех областей:
(х) = АіЄікх + B1Cikx,
Mx) = А2 є'™ + B2 е~11<х,
¦ф3(х) = A3Ctkx + B3e~tkx.
Как и следовало ожидать (см. разд. 1.4), ни при каком выборе констант А и В не удается получить квадратично интегрируемой функции, т. е. уровней дискретного спектра при положительных энергиях не существует. Возможен только сплошной спектр,
(2.11) 42
Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер
причем любое значение E есть точка спектра. Построим решение. У нас имеется шесть постоянных А и В и только четыре условия сшивания (2.1). Таким образом, в постановке этой задачи присутствует неоднозначность. Для того чтобы понять, с чем она связана, рассмотрим плотность тока вероятности
(V Av, _ ^Л
2тпоі \ dx dx J
2moi
для волновой функции вида
-ф(х) = Aelkx + Ве~гкх.
Вычисляя, находим
^rMx) = ikAelkx - ікВе~ікх, dx
ip*4~ip = ik \\А\2 - |В|2 + АВ*е2гкх - А*Ве~2гкх 1. dx
Следовательно,
j = (\А\2 - |В|2).
TllQ
По определению плотность потока равна скорости, умноженной на плотность частиц в потоке. Учитывая, что Нк/тпо есть скорость частицы, величину I А\2 можно трактовать как число частиц в единице объема, двигающихся в сторону положительного направления оси X, т.е. слева направо, а \В\2 можно трактовать как число частиц в единице объема, перемещающихся в отрицательном направлении оси X, т. е. справа налево. Теперь вернемся к нашим трем областям.
Пусть источник частиц находится слева от ямы, а справа от ямы источника нет. Тогда | Ai\2 определяется мощностью источника, т. е. задано, a B3 = 0 (если источник находится справа, то B3 задано, а
