Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абаренков И.В. -> "Простейшие модели в квантовой механике" -> 13

Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.

Абаренков И.В., Загуляев С.В. Простейшие модели в квантовой механике — Питер, 2004. — 128 c.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка): prosteyshiemodelivkvantovoymehan2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 32 >> Следующая


Ai = 0).

Четыре оставшихся коэффициента можно выразить с помощью условий сшивания (2.1) через Ai. Приведем результат для модулей коэффициентов Аз и Bi (коэффициенты A2 и B2 нас сейчас не интересуют):

|Аз|г = гЬ|Лі'2' |?l|Z = 2.1. Отрицательные энергии

43

где

(л2-к2)2 . о 0 р = sm

Таким образом, имеется падающии поток частиц с плотностью Ji = (Нк/mo)\Ai |2, отраженный — с плотностью jr = (Й/г/то)|.Ві|2 и прошедший с плотностью jt = (Нк/т,о)\Аз\2. Введем коэффициент отражения R1 определив его как отношение плотностей потока отраженных и падающих частиц

* - k = Ш = T^ (2.12)

Jt I-Ail2 1+р' v

и коэффициент прохождения

T = k = JM = J-. (2.13)

Зг IA1I2 1+р

Очевидно, что выполняется соотношение

R + T = 1,

которое представляет собой условие сохранения числа частиц.

Мы рассмотрели случай, когда источник частиц находится слева от ямы. Можно рассмотреть и тот случай, когда источник частиц находится справа. Вычисляя коэффициенты прохождения и отражения, получаем те же значения, что и для источника, расположенного слева от ямы. Оказывается, что значения коэффициентов прохождения и отражения не зависят от положения источника не только для рассмотренного симметричного прямоугольного потенциала, но и для вещественного потенциала любой формы. Это утверждение остается справедливым и для трехмерного потенциала, если только он остается постоянным на бесконечности. Данное утверждение является следствием принципа микроскопической обратимости, или принципа детального равновесия, в квантовой механике.

Приведем доказательство для случая произвольного одномерного потенциала, такого, что V(x —> +оо) = Vi и V(x —> —00) = V2, причем Vi ф V2. Обозначим 1р+(х) решение уравнения Шредингера 44

Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер

для случая, когда источник находится слева, а ір~(х) — решение, когда источник находится справа от потенциала:

H2 (Р

+ V(x)ip±(x) = ЕтР±(х),

причем оба решения соответствуют одной и той же энергии. Асимптотики этих решений на ±оо суть

¦ф+(х) =

, X —> —00, X —? +00,

{Bie~lkx, X -? -оо,

A3 elkx + B3 е~гкх, X -> +оо.

Здесь

к = V^m0(E-V1)Zh и к = ^m0(Е - F2)/fi, a AllBllA3 и BitA3lB3 суть амплитуды падающих, отраженных и прошедших волн на ±оо. Решения ф+(х) и яр-(х) линейно независимы. Это следует из необращения в нуль определителя Вронского W(x) = (ip-ip'+ — ip+tp'_) при X = ±оо (см. п. 7 разд. 1.1). Беря в качестве яр±(±оо) и ip'±(±oo) их асимптотики, получаем два значения определителя Вронского:

W(+oo) = 2ikA3B3, W(-oo) = 2ikA1B1.

Однако в силу теоремы Грина (см. п. 8 разд. 1.1) определитель Вронского не зависит от точки х: 1У(+оо) = W(—оо). Отсюда

к A3B3 = к A1B1.

Выражаем из этого равенства амплитуду A3 и подставляем ее в определение коэффициента прохождения (2.13). В результате получаем

т =ІЇ= = к 1 к2 + j+ к\А,\2 к IA1I2 к2

т. е. равенство коэффициентов прохождения. Для коэффициентов отражения (2.12) выполняется аналогичное равенство, что непосредственно следует из условия постоянства числа частиц: R + T = 1.

A1B1

B3

к IB1I2

к |В3|2

= ^r = Г-, 2.1. Отрицательные энергии

45

Проанализируем теперь, как ведут себя коэффициенты прохождения и отражения для прямоугольной потенциальной ямы. Рассмотрим параметр р. Из определения (2.10) следует, что

Поэтому

2 ,2 2mO тт

J -к =—Vo-

Vq sin2 2ха

4Е(Е + V0)'

При E —> 0 величина E + V0 стремится к константе Vo, а величина 2ха стремится к IsfQ. Предположим, что аргумент синуса не кратен 7г (случай аргумента кратного 7Г будет рассмотрен ниже). Тогда в выражении для р числитель остается конечной величиной, а знаменатель стремится к нулю. Таким образом,

Е-> 0, р-юо, R-у 1, T-у 0,

т.е., при уменьшении энергии все большее число частиц отражается. При возрастании энергии E числитель в выражении для р остается ограниченным, а знаменатель неограниченно возрастает. Таким образом,

Е-юо, р-у 0, R-> 0, T-у 1,

т.е., при увеличении энергии все меньшее число частиц отражается. Однако при изменении энергии р меняется немонотонно из-за множителя sin2 їла. В частности, если E таково, что

2 ла = гстг, (2.14)

то р = 0 и все частицы проходят область II, т.е. яма при этой энергии полностью прозрачна. Уровни энергии, при которых имеет место равенство (2.14), определяются уравнением

= + W (2) " *

Они в точности совпадают с уровнями энергии в яме с бесконечными стенками (2.9) с учетом сдвига начала отсчета энергии на дно 46

Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер

ямы (в точку -Vo)- Такие уровни принято называть резонансными. Удобно записать формулу для En в виде

Мы рассматриваем только область положительных энергий. Поэтому значения квантового числа п резонанса не могут быть любыми. Они должны удовлетворять условию

которое обеспечивает положительность En. Случай, когда условие (2.15) не выполняется, мы рассматривать не будем.

Сравнение движения квантовой и классической частиц при положительной энергии. Волновые функции резонансных состояний
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 32 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed