Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
Ai = 0).
Четыре оставшихся коэффициента можно выразить с помощью условий сшивания (2.1) через Ai. Приведем результат для модулей коэффициентов Аз и Bi (коэффициенты A2 и B2 нас сейчас не интересуют):
|Аз|г = гЬ|Лі'2' |?l|Z = 2.1. Отрицательные энергии
43
где
(л2-к2)2 . о 0 р = sm
Таким образом, имеется падающии поток частиц с плотностью Ji = (Нк/mo)\Ai |2, отраженный — с плотностью jr = (Й/г/то)|.Ві|2 и прошедший с плотностью jt = (Нк/т,о)\Аз\2. Введем коэффициент отражения R1 определив его как отношение плотностей потока отраженных и падающих частиц
* - k = Ш = T^ (2.12)
Jt I-Ail2 1+р' v
и коэффициент прохождения
T = k = JM = J-. (2.13)
Зг IA1I2 1+р
Очевидно, что выполняется соотношение
R + T = 1,
которое представляет собой условие сохранения числа частиц.
Мы рассмотрели случай, когда источник частиц находится слева от ямы. Можно рассмотреть и тот случай, когда источник частиц находится справа. Вычисляя коэффициенты прохождения и отражения, получаем те же значения, что и для источника, расположенного слева от ямы. Оказывается, что значения коэффициентов прохождения и отражения не зависят от положения источника не только для рассмотренного симметричного прямоугольного потенциала, но и для вещественного потенциала любой формы. Это утверждение остается справедливым и для трехмерного потенциала, если только он остается постоянным на бесконечности. Данное утверждение является следствием принципа микроскопической обратимости, или принципа детального равновесия, в квантовой механике.
Приведем доказательство для случая произвольного одномерного потенциала, такого, что V(x —> +оо) = Vi и V(x —> —00) = V2, причем Vi ф V2. Обозначим 1р+(х) решение уравнения Шредингера 44
Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер
для случая, когда источник находится слева, а ір~(х) — решение, когда источник находится справа от потенциала:
H2 (Р
+ V(x)ip±(x) = ЕтР±(х),
причем оба решения соответствуют одной и той же энергии. Асимптотики этих решений на ±оо суть
¦ф+(х) =
, X —> —00, X —? +00,
{Bie~lkx, X -? -оо,
A3 elkx + B3 е~гкх, X -> +оо.
Здесь
к = V^m0(E-V1)Zh и к = ^m0(Е - F2)/fi, a AllBllA3 и BitA3lB3 суть амплитуды падающих, отраженных и прошедших волн на ±оо. Решения ф+(х) и яр-(х) линейно независимы. Это следует из необращения в нуль определителя Вронского W(x) = (ip-ip'+ — ip+tp'_) при X = ±оо (см. п. 7 разд. 1.1). Беря в качестве яр±(±оо) и ip'±(±oo) их асимптотики, получаем два значения определителя Вронского:
W(+oo) = 2ikA3B3, W(-oo) = 2ikA1B1.
Однако в силу теоремы Грина (см. п. 8 разд. 1.1) определитель Вронского не зависит от точки х: 1У(+оо) = W(—оо). Отсюда
к A3B3 = к A1B1.
Выражаем из этого равенства амплитуду A3 и подставляем ее в определение коэффициента прохождения (2.13). В результате получаем
т =ІЇ= = к 1 к2 + j+ к\А,\2 к IA1I2 к2
т. е. равенство коэффициентов прохождения. Для коэффициентов отражения (2.12) выполняется аналогичное равенство, что непосредственно следует из условия постоянства числа частиц: R + T = 1.
A1B1
B3
к IB1I2
к |В3|2
= ^r = Г-, 2.1. Отрицательные энергии
45
Проанализируем теперь, как ведут себя коэффициенты прохождения и отражения для прямоугольной потенциальной ямы. Рассмотрим параметр р. Из определения (2.10) следует, что
Поэтому
2 ,2 2mO тт
J -к =—Vo-
Vq sin2 2ха
4Е(Е + V0)'
При E —> 0 величина E + V0 стремится к константе Vo, а величина 2ха стремится к IsfQ. Предположим, что аргумент синуса не кратен 7г (случай аргумента кратного 7Г будет рассмотрен ниже). Тогда в выражении для р числитель остается конечной величиной, а знаменатель стремится к нулю. Таким образом,
Е-> 0, р-юо, R-у 1, T-у 0,
т.е., при уменьшении энергии все большее число частиц отражается. При возрастании энергии E числитель в выражении для р остается ограниченным, а знаменатель неограниченно возрастает. Таким образом,
Е-юо, р-у 0, R-> 0, T-у 1,
т.е., при увеличении энергии все меньшее число частиц отражается. Однако при изменении энергии р меняется немонотонно из-за множителя sin2 їла. В частности, если E таково, что
2 ла = гстг, (2.14)
то р = 0 и все частицы проходят область II, т.е. яма при этой энергии полностью прозрачна. Уровни энергии, при которых имеет место равенство (2.14), определяются уравнением
= + W (2) " *
Они в точности совпадают с уровнями энергии в яме с бесконечными стенками (2.9) с учетом сдвига начала отсчета энергии на дно 46
Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер
ямы (в точку -Vo)- Такие уровни принято называть резонансными. Удобно записать формулу для En в виде
Мы рассматриваем только область положительных энергий. Поэтому значения квантового числа п резонанса не могут быть любыми. Они должны удовлетворять условию
которое обеспечивает положительность En. Случай, когда условие (2.15) не выполняется, мы рассматривать не будем.
Сравнение движения квантовой и классической частиц при положительной энергии. Волновые функции резонансных состояний
